Questão 3. Forneça o que se pede.
(a) Uma matriz que não possui fatoração \mathbf{L U}.

Passo 1

O enunciado pede que eu forneça uma matriz que não possua fatoração \mathbf{L U}. Não há outras informações ou restrições dadas (por exemplo, tamanho mínimo ou se trocas de linhas são permitidas). Então vou entregar um exemplo concreto e provar passo a passo que ela não admite fatoração \mathbf{L U} sem permutar linhas.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que significa escrever uma matriz A na forma \mathbf{L U} (forma padrão tipo Doolittle, que é a mais usada em provas rápidas): queremos matrizes L e U tais que
A = LU,
onde L é triangular inferior com 1s na diagonal e U é triangular superior. Para uma matriz 2\times2, escrevemos
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ \ell_{21} & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12}\\\\ 0 & u_{22}\end{pmatrix}.
Multiplicando L por U obtemos (fazendo conta elemento a elemento)
LU=\begin{pmatrix} u_{11} & u_{12}\\\ \ell_{21}u_{11} & \ell_{21}u_{12}+u_{22} \end{pmatrix}.
Para que A=LU seja possível, os coeficientes de LU devem coincidir com os de A. Note que se u_{11}=0 então o elemento (2,1) de LU será \ell_{21}u_{11}=0, o que pode impedir igualar-se a um valor não nulo em A. Por isso, em práticas sem troca de linhas, um pivô nulo em a_{11} costuma bloquear a construção da fatoração.

Passo 3

Vou escolher uma matriz simples que ilustra exatamente esse problema do pivô nulo: proponho
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Esta é uma matriz 2\times2 com a_{11}=0. Agora eu mostro algebraicamente que não existe L e U na forma acima com LU=A.]

Passo 4

Assuma que existam
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ \ell_{21} & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12}\\\\ 0 & u_{22}\end{pmatrix},
com LU=A. Igualando as entradas de LU com as de A (usando o produto do Passo 2), obtemos o sistema de equações:
\begin{cases} u_{11} = 0,\\[4pt] u_{12} = 1,\\[4pt] \ell_{21}u_{11} = 1,\\[4pt] \ell_{21}u_{12} + u_{22} = 0. \end{cases}]

Passo 5

Da primeira equação temos u_{11}=0. Substituindo na terceira equação,
\ell_{21}u_{11} = \ell_{21}\cdot 0 = 0,
mas a terceira equação exige que isso seja igual a 1. Ou seja,
0 = 1,
uma contradição. Portanto não existem escalares \ell_{21},u_{11},u_{12},u_{22} que satisfaçam todas as equações simultaneamente, logo não existe fatoração \mathbf{L U} da matriz A na forma sem permutações de linhas.

Passo 6

Comentário final rápido e motivador: esse exemplo mostra o ponto-chave que você precisa olhar numa prova — se a_{11}=0 e você tenta construir LU com L tendo 1s na diagonal (método direto tipo Doolittle), você já pode suspeitar de impossibilidade sem trocas de linha. Em uma prova pode ser suficiente apontar essa obstrução ou apresentar exatamente a demonstração algébrica que fiz acima. Se a prova permitir permutações, então existe uma fatoração do tipo PA=LU com uma matriz de permutação P, mas a questão pediu especificamente matriz que não possui \mathbf{L U}, então o nosso A serve.

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}]

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