e pede que eu escreva um método iterativo usando o método de Newton para sistemas. Também foi fornecida a fórmula da inversa de uma matriz 2\times2:
\left[\begin{array}{cc} a & b \\\ c & d \end{array}\right]^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc} d & -b \\\\ -c & a \end{array}\right].
Informações relevantes fornecidas: as duas equações do sistema e a fórmula da inversa de 2\times2. O objetivo é obter a expressão iterativa de Newton que atualiza (x_n,y_n) para (x_{n+1},y_{n+1}).]
Passo 2
Vou colocar o sistema na forma vetorial F(x,y)=0. Defino as duas funções componentes:
Calculo o determinante de J (necessário para aplicar a fórmula da inversa). Usando a=2x, b=2y, c=-2x, d=2y,
\det J = ad-bc=(2x)(2y)-(2y)(-2x)=4xy-(-4xy)=8xy.
Observação importante: a inversa existe apenas quando \det J\neq0, ou seja quando xy\neq0. Então é preciso escolher uma aproximação inicial com x_0\neq0 e y_0\neq0.
Passo 5
Aplico a fórmula da inversa de 2\times2 (usando os mesmos a,b,c,d acima):
Calculo agora f_{1}-f_{2} e f_{1}+f_{2} para simplificar ainda mais (faça isso na prova: muitas vezes somar/subtrair as equações reduz muito a expressão):
válido desde que x_{n}\neq0 e y_{n}\neq0 (para garantir \det J\neq0). Na prova, escolha uma aproximação inicial (x_{0},y_{0}) com essas condições; a iteração segue aplicando as fórmulas acima até convergir.