Problema 10

Considere o sistema de equações
\left\{\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}-4=0 \\\ y^{2}-x^{2}+1=0 \end{array}\right.
Usando o método de Newton para sistemas, escreva um método iterativo para esse sistema.
LEMBRETE: A inversa de uma matriz 2 \times 2 é
\left[\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right]^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left[\begin{array}{cc} d & -b \\\\ -c & a \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\left\{\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}-4=0 \\[4pt] y^{2}-x^{2}+1=0 \end{array}\right.
e pede que eu escreva um método iterativo usando o método de Newton para sistemas. Também foi fornecida a fórmula da inversa de uma matriz 2\times2:
\left[\begin{array}{cc} a & b \\\ c & d \end{array}\right]^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc} d & -b \\\\ -c & a \end{array}\right].
Informações relevantes fornecidas: as duas equações do sistema e a fórmula da inversa de 2\times2. O objetivo é obter a expressão iterativa de Newton que atualiza (x_n,y_n) para (x_{n+1},y_{n+1}).]

Passo 2

Vou colocar o sistema na forma vetorial F(x,y)=0. Defino as duas funções componentes:
f_{1}(x,y)=x^{2}+y^{2}-4,
f_{2}(x,y)=y^{2}-x^{2}+1.
Em vetor:
F(x,y)=\begin{pmatrix}f_{1}(x,y)\\[4pt] f_{2}(x,y)\end{pmatrix}.
O método de Newton para sistemas diz que a iteração é
\begin{pmatrix}x_{n+1}\\[4pt] y_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_{n}\\[4pt] y_{n}\end{pmatrix} - J(x_{n},y_{n})^{-1}\,F(x_{n},y_{n}),
onde J(x,y) é a matriz jacobiana (matriz das derivadas parciais) de F. Vou calcular J e a sua inversa explicitamente.]

Passo 3

Calculo as derivadas parciais (explicando: a derivada parcial de f em relação a x trata y como constante e vice-versa):
\frac{\partial f_{1}}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial f_{1}}{\partial y}=2y,
\frac{\partial f_{2}}{\partial x}=-2x,\qquad \frac{\partial f_{2}}{\partial y}=2y.
Portanto a jacobiana é
J(x,y)=\begin{pmatrix}2x & 2y \\[4pt] -2x & 2y\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculo o determinante de J (necessário para aplicar a fórmula da inversa). Usando a=2x, b=2y, c=-2x, d=2y,
\det J = ad-bc=(2x)(2y)-(2y)(-2x)=4xy-(-4xy)=8xy.
Observação importante: a inversa existe apenas quando \det J\neq0, ou seja quando xy\neq0. Então é preciso escolher uma aproximação inicial com x_0\neq0 e y_0\neq0.

Passo 5

Aplico a fórmula da inversa de 2\times2 (usando os mesmos a,b,c,d acima):
J(x,y)^{-1}=\frac{1}{8xy}\begin{pmatrix}2y & -2y \\[4pt] 2x & 2x\end{pmatrix}.
(Verificação rápida das entradas: trocamos a com d, invertemos sinal de b e c, e dividimos por \det J.)]

Passo 6

Agora calculo o produto J^{-1}F. Escrevo F e faço a multiplicação componente a componente:
F(x,y)=\begin{pmatrix}x^{2}+y^{2}-4\\[4pt] y^{2}-x^{2}+1\end{pmatrix}.
Multiplicando:
J^{-1}F=\frac{1}{8xy}\begin{pmatrix}2y & -2y \\[4pt] 2x & 2x\end{pmatrix} \begin{pmatrix}f_{1}\\[4pt] f_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{2y(f_{1}-f_{2})}{8xy}\\[10pt] \displaystyle\frac{2x(f_{1}+f_{2})}{8xy} \end{pmatrix}.
Simplificando os fatores 2y/(8xy)=1/(4x) e 2x/(8xy)=1/(4y), obtemos
J^{-1}F=\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{1}{4x}\,(f_{1}-f_{2})\\[10pt] \displaystyle\frac{1}{4y}\,(f_{1}+f_{2}) \end{pmatrix}.]

Passo 7

Calculo agora f_{1}-f_{2} e f_{1}+f_{2} para simplificar ainda mais (faça isso na prova: muitas vezes somar/subtrair as equações reduz muito a expressão):
f_{1}-f_{2}=(x^{2}+y^{2}-4)-(y^{2}-x^{2}+1)=2x^{2}-5,
f_{1}+f_{2}=(x^{2}+y^{2}-4)+(y^{2}-x^{2}+1)=2y^{2}-3.
Note como as somas/subtrações eliminaram termos cruzados e deixaram expressões em apenas x ou apenas y.

Passo 8

Substituo essas simplificações em J^{-1}F e uso a fórmula iterativa de Newton:
\begin{pmatrix}x_{n+1}\\[4pt] y_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_{n}\\[4pt] y_{n}\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{1}{4x_{n}}\,(2x_{n}^{2}-5)\\[10pt] \displaystyle\frac{1}{4y_{n}}\,(2y_{n}^{2}-3) \end{pmatrix}.
Faço agora a álgebra para escrever cada componente numa forma racional mais compacta:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{2x_{n}^{2}-5}{4x_{n}} =\frac{4x_{n}^{2}-(2x_{n}^{2}-5)}{4x_{n}} =\frac{2x_{n}^{2}+5}{4x_{n}},
y_{n+1}=y_{n}-\frac{2y_{n}^{2}-3}{4y_{n}} =\frac{4y_{n}^{2}-(2y_{n}^{2}-3)}{4y_{n}} =\frac{2y_{n}^{2}+3}{4y_{n}}.
Essas fórmulas ficam bem simples e decoupladas: a atualização de x depende apenas de x e a de y depende apenas de y.]

Passo 9

Resumo prático (lembrando as condições): o método iterativo de Newton para este sistema é
x_{n+1}=\frac{2x_{n}^{2}+5}{4x_{n}},\qquad y_{n+1}=\frac{2y_{n}^{2}+3}{4y_{n}},
válido desde que x_{n}\neq0 e y_{n}\neq0 (para garantir \det J\neq0). Na prova, escolha uma aproximação inicial (x_{0},y_{0}) com essas condições; a iteração segue aplicando as fórmulas acima até convergir.

Resposta

x_{n+1}=\frac{2x_{n}^{2}+5}{4x_{n}}
y_{n+1}=\frac{2y_{n}^{2}+3}{4y_{n}}

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