Questão 2. A temperatura de um líquido em resfriamento é modelada pela função
T(t)=80 e^{-0,2 t}+20, \quad t \geq 0
onde T é dada em graus Celsius e t em minutos.
a) Calcule a taxa média de variação da temperatura no intervalo 0 \leq t \leq 5.
b) Determine a taxa de variação instantânea em t=5 e interprete fisicamente.

Passo 1

O enunciado dá a função temperatura
T(t)=80 e^{-0,2 t}+20,\quad t\ge 0,
onde T está em ^\circ\mathrm{C} e t em minutos, e pede duas coisas:
  • (a) a taxa média de variação da temperatura no intervalo 0\le t\le 5;
  • (b) a taxa de variação instantânea em t=5 e a interpretação física desse valor.
Informações relevantes que já temos aqui:
T(0)=80 e^{0}+20=80+20=100\\ (^\circ\mathrm{C}),
e a função explícita de T(t) para qualquer t\ge0 (vai servir para calcular médias e derivadas).

Passo 2

Definição e cálculo da taxa média de variação (parte a).
  • Conceito: a taxa média de variação de T no intervalo [a,b] é o coeficiente angular da reta secante que liga os pontos (a,T(a)) e (b,T(b)). A fórmula é
\text{taxa média}=\frac{T(b)-T(a)}{b-a}.é
Aqui temos a=0 e b=5, então
\text{taxa média}=\frac{T(5)-T(0)}{5-0}=\frac{T(5)-T(0)}{5}.é
  • Vou calcular T(5) passo a passo. Substituindo t=5 em T(t):
T(5)=80 e^{-0,2\cdot 5}+20.
Como -0,2\cdot 5=-1, isso fica
T(5)=80 e^{-1}+20.
  • Agora aplicar a fórmula da taxa média:
\text{taxa média}=\frac{80 e^{-1}+20-100}{5}.é
Simplifico o numerador: 20-100=-80, então
\text{taxa média}=\frac{80 e^{-1}-80}{5}.é
Coloco 80 em evidência:
\text{taxa média}=\frac{80(e^{-1}-1)}{5}.é
Dividindo 80 por 5 16, logo a forma mais simples exata é
\text{taxa média}=16\bigl(e^{-1}-1\bigr).é
  • Para ter uma ideia numérica (porque em prova às vezes pedem aproximação), uso e^{-1}\approx 0,367879. Então
\text{taxa média}\approx 16\bigl(0,367879-1\bigr)=16(-0,632121)\approx -10,1139\\ \(^\circ\mathrm{C}/\text{min}).
Interpretação imediata: no intervalo de 0 a 5 minutos a temperatura diminuiu, em média, cerca de -10,1139\\ ^\circ\mathrm{C} por minuto (o sinal negativo indica queda).)

Passo 3

Definição e cálculo da taxa instantânea (parte b) — introdução da derivada.
  • Conceito: a taxa de variação instantânea de T em um instante t é a derivada T'(t). Intuitivamente, é o limite das taxas médias quando o intervalo encolhe até um ponto: é a inclinação da reta tangente ao gráfico de T naquele instante.
  • Regra de derivação que vamos usar (explicada de maneira simples): se f(t)=A e^{u(t)}, então f'(t)=A e^{u(t)}\cdot u'(t). Isso vem da regra da cadeia: a derivada de e^{u} é e^{u} vezes a derivada de u. No nosso caso u(t)=-0,2t, e u'(t)=-0,2.
  • Aplicando ao nosso T(t)=80 e^{-0,2 t}+20:
    • a derivada de 80 e^{-0,2 t} é 80 e^{-0,2 t}\cdot(-0,2);
    • a derivada de 20 (constante) é 0.
      Logo,
T'(t)=80\cdot(-0,2)\, e^{-0,2 t}.
Multiplicando 80 por -0,2 obtemos -16, então
T'(t)=-16\, e^{-0,2 t}.
  • Pequeno exemplo didático extra (para você lembrar na prova): se g(t)=5 e^{3t}, então g'(t)=5\cdot 3 e^{3t}=15 e^{3t}. Ou seja, para exponencial e^{at} a derivada é a e^{at}.

Passo 4

Avaliação da derivada em t=5 e interpretação física.
  • Substituo t=5 na expressão de T'(t):
T'(5)=-16\, e^{-0,2\cdot 5}.
Como -0,2\cdot 5=-1, temos a forma exata
T'(5)=-16\, e^{-1}.
  • Aproximação numérica usando e^{-1}\approx 0,367879:
T'(5)\approx -16\cdot 0,367879\approx -5,8861\\ \(^\circ\mathrm{C}/\text{min}).
  • Interpretação física clara e simples: no instante t=5 minutos a temperatura está diminuindo a uma taxa instantânea de aproximadamente -5,8861\\ ^\circ\mathrm{C} por minuto. O sinal negativo indica resfriamento — a temperatura está caindo. Comparação rápida: a taxa média no intervalo 0 5 foi cerca de -10,1139\\ ^\circ\mathrm{C}/\text{min}, mas a taxa instantânea em t=5 é menos negativa (aprox. -5,8861), o que faz sentido porque o resfriamento costuma desacelerar com o tempo em modelos exponenciais (no começo esfria mais rápido, depois mais devagar).)

Passo 5

Resumo prático para a prova (como aplicar sem pensar muito):
  • Para taxa média use \dfrac{T(b)-T(a)}{b-a} e tente simplificar simbolicamente antes de calcular aproximação.
  • Para taxa instantânea derive T(t) usando a regra da cadeia: exponencial e^{at} deriva para a e^{at}, e constantes somadas somam derivada zero.
  • Substitua o instante desejado na derivada para obter o valor instantâneo e interprete o sinal e a unidade ( ^\circ\mathrm{C}/\text{min}).

Resposta

(a) \;16\bigl(e^{-1}-1\bigr)\approx -10,1139\\ \(^\circ\mathrm{C}/\text{min}\n(b) \;T'(5)=-16 e^{-1}\approx -5,8861\\ \(^\circ\mathrm{C}/\text{min}))

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