Questão 2. A temperatura de um líquido em resfriamento é modelada pela função
onde
é dada em graus Celsius e
em minutos.
a) Calcule a taxa média de variação da temperatura no intervalo
.
b) Determine a taxa de variação instantânea em
e interprete fisicamente.
a) Calcule a taxa média de variação da temperatura no intervalo
b) Determine a taxa de variação instantânea em
Passo 1
O enunciado dá a função temperatura
onde
está em
e
em minutos, e pede duas coisas:
- (a) a taxa média de variação da temperatura no intervalo
; - (b) a taxa de variação instantânea em
e a interpretação física desse valor.
Informações relevantes que já temos aqui:
e a função explícita de
para qualquer
(vai servir para calcular médias e derivadas).
Passo 2
Definição e cálculo da taxa média de variação (parte a).
- Conceito: a taxa média de variação de
no intervalo é o coeficiente angular da reta secante que liga os pontos e . A fórmula é
Aqui temos
e
, então
- Vou calcular
passo a passo. Substituindo em :
Como
, isso fica
- Agora aplicar a fórmula da taxa média:
Simplifico o numerador:
, então
Coloco
em evidência:
Dividindo
por
dá
, logo a forma mais simples exata é
- Para ter uma ideia numérica (porque em prova às vezes pedem aproximação), uso
. Então
Interpretação imediata: no intervalo de
a
minutos a temperatura diminuiu, em média, cerca de
por minuto (o sinal negativo indica queda).)
Passo 3
Definição e cálculo da taxa instantânea (parte b) — introdução da derivada.
-
Conceito: a taxa de variação instantânea de
em um instante é a derivada . Intuitivamente, é o limite das taxas médias quando o intervalo encolhe até um ponto: é a inclinação da reta tangente ao gráfico de naquele instante. -
Regra de derivação que vamos usar (explicada de maneira simples): se
, então . Isso vem da regra da cadeia: a derivada de é vezes a derivada de . No nosso caso , e . -
Aplicando ao nosso
: - a derivada de
é ; - a derivada de
(constante) é .
Logo,
- a derivada de
Multiplicando
por
obtemos
, então
- Pequeno exemplo didático extra (para você lembrar na prova): se
, então . Ou seja, para exponencial a derivada é .
Passo 4
Avaliação da derivada em
e interpretação física.
- Substituo
na expressão de :
Como
, temos a forma exata
- Aproximação numérica usando
:
- Interpretação física clara e simples: no instante
minutos a temperatura está diminuindo a uma taxa instantânea de aproximadamente por minuto. O sinal negativo indica resfriamento — a temperatura está caindo. Comparação rápida: a taxa média no intervalo – foi cerca de , mas a taxa instantânea em é menos negativa (aprox. ), o que faz sentido porque o resfriamento costuma desacelerar com o tempo em modelos exponenciais (no começo esfria mais rápido, depois mais devagar).)
Passo 5
Resumo prático para a prova (como aplicar sem pensar muito):
- Para taxa média use
e tente simplificar simbolicamente antes de calcular aproximação. - Para taxa instantânea derive
usando a regra da cadeia: exponencial deriva para , e constantes somadas somam derivada zero. - Substitua o instante desejado na derivada para obter o valor instantâneo e interprete o sinal e a unidade (
).
Resposta
(a)
\n(b)
))