A distância percorrida (em m) por um móvel em uma reta é dada, a cada instante, pela lei s(t)=t^{2}+4 t+4 onde t é o número de segundos percorridos. Determine:
a) velocidade instantânea do móvel.
b) a velocidade no instante inicial.
c) a aceleração instantânea do móvel.

Passo 1

O enunciado dá a função posição do móvel em função do tempo: s(t)=t^{2}+4 t+4, onde:
  • s(t) é a posição (em metros) no instante t,
  • t é o tempo (em segundos).
O que o problema pede:
a) encontrar a velocidade instantânea do móvel (função v(t));
b) calcular a velocidade no instante inicial (isto é, v(0));
c) encontrar a aceleração instantânea do móvel (função a(t)).

Passo 2

Entendendo o conceito de velocidade instantânea (explicação didática).
A velocidade instantânea em um tempo t é a taxa de variação da posição em relação ao tempo naquele instante; formalmente é a derivada de s em t. Pela definição de limite:
v(t)=\lim_{h\to 0}\frac{s(t+h)-s(t)}{h}.
Aqui h é um pequeno incremento de tempo; essa razão \dfrac{s(t+h)-s(t)}{h} é a velocidade média entre t e t+h, e ao fazer h\to0 obtemos a velocidade instantânea.

Passo 3

Aplicando a definição de limite ao nosso s(t). Primeiro calculo s(t+h):
s(t+h)=(t+h)^{2}+4(t+h)+4.
Expandindo:
s(t+h)=t^{2}+2th+h^{2}+4t+4h+4.
Agora formo a diferença s(t+h)-s(t):
s(t+h)-s(t)=(t^{2}+2th+h^{2}+4t+4h+4)-(t^{2}+4t+4).
Cancelam-se t^{2}, 4t e 4, sobrando:
s(t+h)-s(t)=2th+h^{2}+4h.
Divido por h:
\frac{s(t+h)-s(t)}{h}=2t+h+4.
Agora tomo o limite quando h\to0:
v(t)=\lim_{h\to0}(2t+h+4)=2t+4.
Portanto a velocidade instantânea é v(t)=2t+4. (Bom saber: esse cálculo é exatamente a razão limite; se a derivada existir, esse procedimento dá a resposta correta.)

Passo 4

Atalho prático (regra de derivação) e reforço do resultado.
Há uma regra rápida que ajuda muito numa prova: a derivada de t^{n} é n t^{n-1} e a derivada de c t é c, de constante é 0. Aplicando direto em s(t)=t^{2}+4t+4:
\frac{d}{dt}(t^{2})=2t,\qquad \frac{d}{dt}(4t)=4,\qquad \frac{d}{dt}(4)=0,
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v(t)=2t+4,
confirmando o que obtivemos pelo limite. Esse atalho é muito útil quando o tempo é curto na prova.

Passo 5

Calculando a velocidade no instante inicial.
O instante inicial é t=0. Substituo na função v(t):
v(0)=2\cdot 0+4=4.
Interpretação: a velocidade inicial é 4 metros por segundo.

Passo 6

Entendendo aceleração e como encontrá-la.
A aceleração instantânea é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo; é a derivada de v(t) ou, equivalentemente, a segunda derivada de s(t):
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}s}{dt^{2}}.
Usando a função v(t)=2t+4, aplico a regra de derivação: a derivada de 2t é 2 e a derivada de 4 é 0.

Passo 7

Calculando a aceleração:
a(t)=2.
Isto significa que a aceleração é constante e vale 2 metros por segundo ao quadrado ( 2\\ \text{m/s}^{2}) em todo instante.

Passo 8

Resumo interpretativo rápido (para decorar):
  • posição s(t)=t^{2}+4t+4, polinômio de grau 2 → velocidade será polinômio de grau 1;
  • velocidade v(t)=2t+4 → aceleração é constante a(t)=2.
    Isso é típico de movimentos com aceleração constante.

Resposta

(a) v(t)=2t+4\\ \text{m/s}
(b) v(0)=4\\ \text{m/s}
(c) a(t)=2\\ \text{m/s}^{2}

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