A distância percorrida (em m) por um móvel em uma reta é dada, a cada instante, pela lei
onde
é o número de segundos percorridos. Determine:
a) velocidade instantânea do móvel.
b) a velocidade no instante inicial.
c) a aceleração instantânea do móvel.
a) velocidade instantânea do móvel.
b) a velocidade no instante inicial.
c) a aceleração instantânea do móvel.
Passo 1
O enunciado dá a função posição do móvel em função do tempo:
, onde:
-
é a posição (em metros) no instante , -
é o tempo (em segundos).
O que o problema pede:
a) encontrar a velocidade instantânea do móvel (função );
b) calcular a velocidade no instante inicial (isto é, );
c) encontrar a aceleração instantânea do móvel (função ).
a) encontrar a velocidade instantânea do móvel (função
b) calcular a velocidade no instante inicial (isto é,
c) encontrar a aceleração instantânea do móvel (função
Passo 2
Entendendo o conceito de velocidade instantânea (explicação didática).
A velocidade instantânea em um tempo é a taxa de variação da posição em relação ao tempo naquele instante; formalmente é a derivada de
em
. Pela definição de limite:
A velocidade instantânea em um tempo
Aqui
é um pequeno incremento de tempo; essa razão
é a velocidade média entre
e
, e ao fazer
obtemos a velocidade instantânea.
Passo 3
Aplicando a definição de limite ao nosso
. Primeiro calculo
:
Expandindo:
Agora formo a diferença
:
Cancelam-se
,
e
, sobrando:
Divido por
:
Agora tomo o limite quando
:
Portanto a velocidade instantânea é
. (Bom saber: esse cálculo é exatamente a razão limite; se a derivada existir, esse procedimento dá a resposta correta.)
Passo 4
Atalho prático (regra de derivação) e reforço do resultado.
Há uma regra rápida que ajuda muito numa prova: a derivada de é
e a derivada de
é
, de constante é
. Aplicando direto em
:
Há uma regra rápida que ajuda muito numa prova: a derivada de
logo
confirmando o que obtivemos pelo limite. Esse atalho é muito útil quando o tempo é curto na prova.
Passo 5
Calculando a velocidade no instante inicial.
O instante inicial é . Substituo na função
:
O instante inicial é
Interpretação: a velocidade inicial é
metros por segundo.
Passo 6
Entendendo aceleração e como encontrá-la.
A aceleração instantânea é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo; é a derivada de ou, equivalentemente, a segunda derivada de
:
A aceleração instantânea é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo; é a derivada de
Usando a função
, aplico a regra de derivação: a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Passo 7
Calculando a aceleração:
Isto significa que a aceleração é constante e vale
metros por segundo ao quadrado (
) em todo instante.
Passo 8
Resumo interpretativo rápido (para decorar):
- posição
, polinômio de grau 2 → velocidade será polinômio de grau 1; - velocidade
→ aceleração é constante .
Isso é típico de movimentos com aceleração constante.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)