Um objeto move-se em linha reta de tal forma que, após
horas, ele está a
quilômetros de sua posição inicial.
a) Ache a velocidade instantânea em
.
b) Determine em que tempo o objeto se deslocará a uma velocidade de
.
c) a aceleração instantânea do objeto em função de
.
a) Ache a velocidade instantânea em
b) Determine em que tempo o objeto se deslocará a uma velocidade de
c) a aceleração instantânea do objeto em função de
Passo 1
O enunciado dá a posição em função do tempo:
onde
está em quilômetros e
em horas. O que se pede:
- (a) a velocidade instantânea em
; - (b) o tempo
em que a velocidade instantânea vale ; - (c) a aceleração instantânea do objeto em função de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função
está definida para tempo em horas e mede distância em quilômetros. - Velocidade e aceleração não foram dadas explicitamente; serão obtidas a partir de
.
Passo 2
O que é “velocidade instantânea” e como calculá-la (aula rapidinha, sem pânico).
- Intuitivamente, velocidade instantânea em um tempo
é a taxa de variação da posição naquele instante — isto é, quanto a posição muda por unidade de tempo exatamente em . - Formalmente essa taxa é o limite do quociente de variação média quando o intervalo tende a zero:
Esse limite, quando existe, é a derivada de
em
.
Vou aplicar essa definição ao nosso
passo a passo, para você ver como surge a expressão da velocidade.
Passo 3
Cálculo da derivada (velocidade) usando a definição:
Agora tomamos o limite
:
Comentário didático: a conta acima usou apenas álgebra básica e a definição de limite; o resultado também pode ser obtido rapidamente com a regra do poder:
e
.]
Passo 4
Resposta do item (a) — velocidade instantânea em
.
- Usamos a fórmula
.
Portanto a velocidade em
é
.
Passo 5
Resposta do item (b) — resolver para o tempo em que a velocidade é
.
- Igualamos
a :
- Subtraindo
de ambos os lados:
- Dividindo por
:
Portanto o objeto terá velocidade
quando
horas.
Passo 6
Item (c) — aceleração instantânea em função de
.
- A aceleração instantânea é a derivada da velocidade:
- Derivando termo a termo (a derivada de
é , e a de constante é ):
Unidade:
. Interpretação: a aceleração é constante e igual a
, ou seja, a cada hora a velocidade aumenta em
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)