Um objeto move-se em linha reta de tal forma que, após t horas, ele está a s(t)=3 t^{2}+t quilômetros de sua posição inicial.
a) Ache a velocidade instantânea em t=1.
b) Determine em que tempo o objeto se deslocará a uma velocidade de 19 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.
c) a aceleração instantânea do objeto em função de t.

Passo 1

O enunciado dá a posição em função do tempo:
s(t)=3t^{2}+t
onde s(t) está em quilômetros e t em horas. O que se pede:
  • (a) a velocidade instantânea em t=1;
  • (b) o tempo t em que a velocidade instantânea vale 19\\ \mathrm{km}/\mathrm{h};
  • (c) a aceleração instantânea do objeto em função de t.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função s(t) está definida para tempo em horas e mede distância em quilômetros.
  • Velocidade e aceleração não foram dadas explicitamente; serão obtidas a partir de s(t).

Passo 2

O que é “velocidade instantânea” e como calculá-la (aula rapidinha, sem pânico).
  • Intuitivamente, velocidade instantânea em um tempo t é a taxa de variação da posição naquele instante — isto é, quanto a posição muda por unidade de tempo exatamente em t.
  • Formalmente essa taxa é o limite do quociente de variação média quando o intervalo tende a zero:
v(t)=\lim_{h\to 0}\frac{s(t+h)-s(t)}{h}.
Esse limite, quando existe, é a derivada de s em t.
Vou aplicar essa definição ao nosso s(t)=3t^{2}+t passo a passo, para você ver como surge a expressão da velocidade.

Passo 3

Cálculo da derivada (velocidade) usando a definição:
\begin{aligned} \frac{s(t+h)-s(t)}{h} &= \frac{3(t+h)^{2}+ (t+h) - \bigl(3t^{2}+t\bigr)}{h}\\[4pt] &= \frac{3(t^{2}+2th+h^{2}) + t + h - 3t^{2} - t}{h}\\[4pt] &= \frac{6t h + 3h^{2} + h}{h}\\[4pt] &= 6t + 3h + 1. \end{aligned}
Agora tomamos o limite h\to0:
v(t)=\lim_{h\to0}(6t+3h+1)=6t+1.
Comentário didático: a conta acima usou apenas álgebra básica e a definição de limite; o resultado também pode ser obtido rapidamente com a regra do poder: \dfrac{d}{dt}(3t^{2})=3\cdot 2t=6t e \dfrac{d}{dt}(t)=1.]

Passo 4

Resposta do item (a) — velocidade instantânea em t=1.
  • Usamos a fórmula v(t)=6t+1.
v(1)=6\cdot 1 + 1 = 7.
Portanto a velocidade em t=1 é 7\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.

Passo 5

Resposta do item (b) — resolver para o tempo em que a velocidade é 19\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
  • Igualamos v(t) a 19:
6t+1=19.
  • Subtraindo 1 de ambos os lados:
6t=18.
  • Dividindo por 6:
t=3.
Portanto o objeto terá velocidade 19\\ \mathrm{km}/\mathrm{h} quando t=3 horas.

Passo 6

Item (c) — aceleração instantânea em função de t.
  • A aceleração instantânea é a derivada da velocidade:
a(t)=v'(t)=\frac{d}{dt}(6t+1).
  • Derivando termo a termo (a derivada de 6t é 6, e a de constante é 0):
a(t)=6.
Unidade: \mathrm{km}/\mathrm{h}^{2}. Interpretação: a aceleração é constante e igual a 6\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}^{2}, ou seja, a cada hora a velocidade aumenta em 6\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.

Resposta

(a) 7\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}
(b) t=3\\ \mathrm{h}
(c) a(t)=6\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}^{2}

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