A posição (em metros) de uma partícula movendo-se ao longo de uma reta é dado pela equação s(t)=4+6 t+t^{2}, em que t é medido em segundos. Responda:
qual a velocidade instantânea em t=5 ?

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo: s(t)=4+6t+t^{2}, onde t está em segundos e s em metros. A pergunta é: qual a velocidade instantânea em t=5 ?

Passo 2

O que é velocidade instantânea? Intuitivamente, é a taxa de variação da posição no instante t. Matematicamente isso é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos chamar a velocidade de v(t); então
v(t)=\frac{ds}{dt}.
Aqui \frac{ds}{dt} significa “a derivada de s em relação a t”, ou seja, quanto s muda quando t muda um pouquinho.

Passo 3

Fórmulas úteis para derivar polinômios (sem dor de cabeça):
  • A derivada de uma constante é zero: se c é constante então \dfrac{d}{dt}c=0.
  • A derivada de a t (onde a é constante) é a: \dfrac{d}{dt}(a t)=a.
  • A regra do poder: \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1} para n inteiro positivo.
Vou usar essas regras para derivar cada termo de s(t).

Passo 4

Derivando termo a termo:
  • \dfrac{d}{dt}(4)=0 porque 4 é constante.
  • \dfrac{d}{dt}(6t)=6 pela regra da derivada de a t.
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=2t pela regra do poder com n=2.
Somando as deriva-das:
v(t)=\frac{ds}{dt}=0+6+2t=6+2t.

Passo 5

Agora avalio em t=5:
v(5)=6+2\cdot 5=6+10=16.
A unidade é metros por segundo, portanto a velocidade instantânea é 16\\ \text{m/s}.

Passo 6

Pequena verificação intuitiva (opcional, só para ganhar confiança): calcule a velocidade média entre t=4 e t=6.
s(6)=4+6\cdot6+6^{2}=4+36+36=76, \qquad s(4)=4+6\cdot4+4^{2}=4+24+16=44,
\text{velocidade média}=\frac{s(6)-s(4)}{6-4}=\frac{76-44}{2}=\frac{32}{2}=16.é
Num movimento descrito por um polinômio quadrático, a velocidade instantânea no ponto médio iguala essa velocidade média — compatível com v(5)=16.

Resposta

16\\ \text{m/s}

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