A posição (em metros) de uma partícula movendo-se ao longo de uma reta é dado pela equação
, em que t é medido em segundos. Responda:
qual a velocidade instantânea em
?
qual a velocidade instantânea em
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
, onde
está em segundos e
em metros. A pergunta é: qual a velocidade instantânea em
?
Passo 2
O que é velocidade instantânea? Intuitivamente, é a taxa de variação da posição no instante
. Matematicamente isso é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos chamar a velocidade de
; então
Aqui
significa “a derivada de
em relação a
”, ou seja, quanto
muda quando
muda um pouquinho.
Passo 3
Fórmulas úteis para derivar polinômios (sem dor de cabeça):
- A derivada de uma constante é zero: se
é constante então . - A derivada de
(onde é constante) é : . - A regra do poder:
para inteiro positivo.
Vou usar essas regras para derivar cada termo de
.
Passo 4
Derivando termo a termo:
-
porque é constante. -
pela regra da derivada de . -
pela regra do poder com .
Somando as deriva-das:
Passo 5
Agora avalio em
:
A unidade é metros por segundo, portanto a velocidade instantânea é
.
Passo 6
Pequena verificação intuitiva (opcional, só para ganhar confiança): calcule a velocidade média entre
e
.
Num movimento descrito por um polinômio quadrático, a velocidade instantânea no ponto médio iguala essa velocidade média — compatível com
.