A posição (em metros) de uma partícula movendo-se ao longo de uma reta é dado pela equação s(t)=4+6 t+t^{2}, em que t é medido em segundos. Responda:
qual a velocidade média entre t=3 e t=8 ?

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo e pede a velocidade média no intervalo de tempo especificado. Informações fornecidas:
  • A posição é s(t)=4+6t+t^{2}, com s em metros e t em segundos.
  • O intervalo de tempo é de t_{1}=3 s até t_{2}=8 s.
    A pergunta: qual a velocidade média da partícula entre t=3 e t=8?

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Velocidade média \overline{v} em um intervalo de tempo é a variação da posição dividida pela duração do intervalo.
  • Fórmula:
\overline{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_{2})-s(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
Aqui \Delta s é o deslocamento (diferença das posições) e \Delta t é o tempo decorrido. A unidade resultante será metros por segundo ( \text{m/s}) porque \Delta s está em metros e \Delta t em segundos.

Passo 3

Calcular s(3). Substituir t=3 na expressão de s(t):
s(3)=4+6\cdot 3+3^{2}.
Fazendo as contas passo a passo:
6\cdot 3=18,\qquad 3^{2}=9,
s(3)=4+18+9=31\\ \text{m}.

Passo 4

Calcular s(8). Substituir t=8 na expressão de s(t):
s(8)=4+6\cdot 8+8^{2}.
Fazendo as contas passo a passo:
6\cdot 8=48,\qquad 8^{2}=64,
s(8)=4+48+64=116\\ \text{m}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da velocidade média:
\Delta s=s(8)-s(3)=116-31=85\\ \text{m},
\Delta t=8-3=5\\ \text{s}.
Portanto
\overline{v}=\frac{85}{5}=17\\ \text{m/s}.
Interpretação curta: isso significa que, em média, a partícula avançou 17 metros a cada segundo no intervalo entre 3 s e 8 s.

Resposta

17\\ \text{m/s}

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