Mostre que em R[X, Y],(X, Y)=(X, Y(X-1)).

Passo 1

Na questão, queremos mostrar que os ideais gerados por X e Y em R[X,Y] coincidem com o ideal gerado por X e Y(X-1). Vamos usar conceitos de geração de ideais e mostrar duas inclusões.

Passo 2

Para provar (X, Y(X-1)) subseteq (X, Y), basta ver que cada gerador de (X, Y(X-1)) está em (X, Y). Obviamente Xin (X,Y). Além disso consideramos a expressão
Y(X-1)=YX - Y,
onde YXin (X) pois é múltiplo de X, e Yin (Y). Logo Y(X-1) é combinação de elementos de (X) e (Y) e pertence a (X,Y). Assim (X, Y(X-1)) subseteq (X, Y).

Passo 3

Para provar (X, Y) subseteq (X, Y(X-1)), mostramos que cada gerador de (X,Y) está em (X, Y(X-1)). De novo X está trivialmente em (X,Y(X-1)). Para Y, observe que
-,Y(X-1) + X,Y = -YX + Y + YX = Y
Aqui -Y(X-1) está em (Y(X-1)) e X,Y está em (X). Logo Yin (X, Y(X-1)). Daí (X,Y)subseteq (X,Y(X-1)).

Passo 4

Com as duas inclusões, concluímos que (X, Y) = (X, Y(X-1)).

Resposta

(X, Y) = (X, Y(X-1))

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