Os vetores v1=(-1raiz2, 1raiz6, 1raiz3), v2=(0,-2raiz6, 1raiz3) e v3=(1raiz2, 1raiz6, 1raiz3) formam um conjunto ortonormal?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores
v1=l(-tfrac1raiz2,,tfrac1raiz6,,tfrac1raiz3r),
v2=l(0,,-tfrac2raiz6,,tfrac1raiz3r) e
v3=l(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz6,,tfrac1raiz3r)
formam um conjunto ortonormal em R^3. Para isso precisamos checar duas coisas:
  1. Cada vetor tem norma 1.
  2. Os vetores são mutuamente ortogonais (produto interno zero).

Passo 2

Calcular as normas de cada vetor:
|v1|^2 = l(-1raiz2r)^2 + l(1raiz6r)^2 + l(1raiz3r)^2 = 12 + 16 + 13 = 1
|v2|^2 = 0^2 + l(-2raiz6r)^2 + l(1raiz3r)^2 = 46 + 13 = 46 + 26 = 1
|v3|^2 = l(1raiz2r)^2 + l(1raiz6r)^2 + l(1raiz3r)^2 = 12 + 16 + 13 = 1
Logo, |v1|=|v2|=|v3|=1.

Passo 3

Calcular os produtos internos entre pares:
lang<= v1, v2rang<= = l(-1raiz2r)cdot 0 ;+;1raiz6cdotl(-2raiz6r);+;1raiz3cdot1raiz3 = -26 + 13 = 0
lang<= v1, v3rang<= = l(-1raiz2r)cdot1raiz2 ;+;1raiz6cdot1raiz6;+;1raiz3cdot1raiz3 = -12 + 16 + 13 = 0
lang<= v2, v3rang<= = 0cdot1raiz2 ;+;l(-2raiz6r)cdot1raiz6;+;1raiz3cdot1raiz3 = -26 + 13 = 0
Portanto todos os produtos internos são zero.

Resposta

Sim, v1,v2,v3 formam um conjunto ortonormal em R^3.

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