Qual é a distância vertical máxima entre a reta y=x+2 \mathrm{e} a parábola y=x^{2} para -1 \leq x \leq 2 ?

Passo 1

O enunciado pede a distância vertical máxima entre a reta y=x+2 e a parábola y=x^2 no intervalo -1 \le x \le 2. Para isso vamos definir a função que mede a distância vertical e depois encontrar seu máximo num intervalo fechado, usando cálculo de derivadas e avaliando também os extremos.

Passo 2

Definimos
d(x) = \bigl|(x+2) - x^2\bigr|.
Como nos pontos x=-1 e x=2 temos
(x+2)-x^2 = 1 - 1 = 0
e no interior a reta está acima da parábola, podemos eliminar o valor absoluto e usar
d(x) = (x+2) - x^2 = -x^2 + x + 2.

Passo 3

Calculamos a derivada de d:
d'(x) = -2x + 1.
Igualando a zero para achar pontos críticos:
-2x + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac12.

Passo 4

Agora avaliamos d(x) nos pontos críticos e nos extremos do intervalo:
d(-1) = 0,\quad d(2) = 0, \quad d\bigl(\tfrac12\bigr) = -\bigl(\tfrac12\bigr)^2 + \tfrac12 + 2 = -\tfrac14 + \tfrac12 + 2 = \tfrac94.

Passo 5

Comparando, o maior valor de d(x) em [-1,2] é
d\bigl(\tfrac12\bigr) = \tfrac94.

Resposta

A distância vertical máxima é \tfrac94.

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