Questão 4 (2 pts) Há uma aplicação interessante de integrais impróprias em Economia. Um fluxo contínuo de renda, a juros compostos continuamente é dado por
V=\int_{0}^{T} f(t) e^{-i t} d t
onde f(t) unidades monetárias anuais é a renda em t anos, 100 i \% é a taxa anual de juros compostos continuamente, c V unidades monetárias é o valor da quantia percebida \mathrm{cm} T anos. Se a renda continua indefinidamente, e se V é o valor de toda renda futura, então
V=\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-i t} d t
Calcule o valor de toda renda futura para f(t)=8.0003^{-t} e i=0,12.

Passo 1

O enunciado pede o valor presente de toda a renda futura
V = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-i t}\,dt
para f(t)=8000\cdot 3^{-t} e i=0,12. O conteúdo aqui é de integrais impróprias e da fórmula
\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\,dt = \frac{1}{a},\quad a>0.

Passo 2

Substituímos na fórmula de V:
V = \int_{0}^{\infty} 8000\cdot 3^{-t} \,e^{-0,12\,t}\,dt.
Como 3^{-t}=e^{-t\ln 3}, temos
V = 8000 \int_{0}^{\infty} e^{-(\ln 3 + 0,12)\,t}\,dt.

Passo 3

Reconhecemos uma integral da forma \int_{0}^{\infty}e^{-a t}\,dt com a = \ln 3 + 0,12. Logo,
V = 8000 \cdot \frac{1}{\ln 3 + 0,12}.

Passo 4

Basta agora calcular numericamente \ln 3\approx 1,0986123. Assim,
\ln 3 + 0,12 \approx 1,0986123 + 0,12 = 1,2186123
e
V \approx \frac{8000}{1,2186123}\approx 6565{,}0.

Resposta

V = \frac{8000}{\ln 3 + 0,12}\approx 6565{,}0

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