Questão 2 ( 1 pt cada item) Calcule as integrais:
\int_{2}^{4} \frac{d x}{x \ln ^{2} x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{2}^{4}\frac{dx}{x\,\ln^{2}x}
O conteúdo usado será a técnica de substituição simples, já que a derivada de \ln x aparece no numerador (através de dx/x).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \ln x,
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du = \frac{dx}{x}.

Passo 3

Em termos de u, os limites mudam de x=2 para u=\ln2 e de x=4 para u=\ln4. A integral torna-se
\int_{u=\ln2}^{u=\ln4} \frac{1}{u^{2}}\,du.

Passo 4

A primitiva de u^{-2} é
\int u^{-2}\,du = -\,u^{-1} + C = -\frac{1}{u}+C.

Passo 5

Avaliamo-la de u=\ln2 até u=\ln4:
\left[-\frac{1}{u}\right]_{u=\ln2}^{u=\ln4} = -\frac{1}{\ln4} - \Bigl(-\frac{1}{\ln2}\Bigr) = \frac{1}{\ln2} - \frac{1}{\ln4}.
Como \ln4 = \ln(2^2)=2\ln2, temos
\frac{1}{\ln2} - \frac{1}{2\ln2} = \frac{1}{2\ln2}.

Resposta

\int_{2}^{4}\frac{dx}{x\,\ln^{2}x} = \frac{1}{2\ln2}.

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