Seja X a variável tempo de serviço dos funcionários de determinada localidade. Se X tem distribuição normal com média 15 anos e desvio padrão 10 anos:
(a) Qual a probabilidade de um funcionário, aleatoriamente escolhido, ter pelo menos 10 anos de tempo de serviço?
(b) Tomando-se uma amostra de 16 funcionários, qual a probabilidade do tempo médio de serviço estar entre 13 e 16 anos?

Passo 1

O enunciado diz que X é o tempo de serviço dos funcionários e segue distribuição normal com média \mu=15 anos e desvio padrão \sigma=10 anos. Precisamos:
– (a) calcular P(X \ge 10),
– (b) para uma amostra de tamanho n=16, calcular P(13 \le \overline{X} \le 16).
Usaremos a padronização para a normal e a distribuição amostral da média.

Passo 2

Para (a),
P(X \ge 10) = 1 - P(X < 10) = 1 - \Phi\bigl(\tfrac{10 - \mu}{\sigma}\bigr).
Aqui \tfrac{10 - 15}{10} = -0.5, logo
P(X \ge 10) = 1 - \Phi(-0.5) = \Phi(0.5) \approx 0.6915.

Passo 3

Para (b), a média amostral \overline{X} de n=16 tem distribuição
\overline{X} \sim N\!\bigl(\mu,\,\tfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\bigr) = N\!\bigl(15,\,2.5\bigr).
Então
P(13 \le \overline{X} \le 16) = \Phi\!\bigl(\tfrac{16 - 15}{2.5}\bigr) - \Phi\!\bigl(\tfrac{13 - 15}{2.5}\bigr) = \Phi(0.4) - \Phi(-0.8) \approx 0.6554 - 0.2119 = 0.4435.

Resposta

(a) \;0.6915
(b) \;0.4435

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