Explique as semelhanças e diferenças entre a distribuição normal e a distribuição t de Student com g l graus de liberdade.
b) Em cada um dos casos, calcule a probabilidade indicada:
i) t \geq 1,4398, g l=6;
ii) l<-1,7823, g l=12;
iii) t<-2,0595, ou t>2,0595, \mathrm{gl}=25,;
iv) t>1,96, \mathrm{gl}=150

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro comparar a distribuição normal padrão \mathcal{N}(0,1) com a distribuição t de Student de g\!l graus de liberdade; depois, em quatro casos específicos, calcular probabilidades envolvendo variáveis T que seguem essa distribuição t.

Passo 2

Semelhanças:
– Ambas são contínuas, simétricas em torno de zero e têm formato de sino.
– Quando os graus de liberdade g\!l crescem muito, a t de Student converge para \mathcal{N}(0,1).
Diferenças:
– A t de Student tem “caudas” mais pesadas que a normal, o que reflete maior incerteza quando amostras são pequenas.
– A variância da normal padrão é exatamente 1, enquanto a da t é \displaystyle \frac{g\!l}{g\!l-2} (para g\!l>2), maior que 1.
– Em aplicações práticas, usa-se a t quando a variância populacional é desconhecida e estimada pela amostra.

Passo 3

Caso (i): calcular
P\bigl(T\ge1,4398\bigr) \quad\text{com}\quad g\!l=6.
Pela simetria e tabelas de t, sabe-se que
t_{0,10;6}=1,4398,
isto é, a área à direita de 1,4398 é \alpha=0,10. Logo
P\bigl(T\ge1,4398\bigr)=0,10.

Passo 4

Caso (ii): calcular
P\bigl(T<-1,7823\bigr) \quad\text{com}\quad g\!l=12.
Pela simetria,
P\bigl(T<-1,7823\bigr)=P\bigl(T>1,7823\bigr).
Da tabela, t_{0,05;12}=1,7823, então a área de uma cauda é \alpha=0,05. Logo
P\bigl(T<-1,7823\bigr)=0,05.

Passo 5

Caso (iii): calcular
P\bigl(T<-2,0595\text{ ou }T>2,0595\bigr) \quad\text{com}\quad g\!l=25.
Isto é um teste bilateral. Pela simetria, cada cauda tem área igual a
t_{0,025;25}=2,0595 \quad\Longrightarrow\quad \alpha_{\text{total}}=2\times0,025=0,05.
Logo
P\bigl(|T|>2,0595\bigr)=0,05.

Passo 6

Caso (iv): calcular
P\bigl(T>1,96\bigr) \quad\text{com}\quad g\!l=150.
Para g\!l grande, a t fica muito próxima da normal padrão. Na normal temos
P\bigl(Z>1,96\bigr)=0,025.
E na t_{150} obtém-se praticamente o mesmo valor, cerca de 0,025.

Resposta

(i) 0,10
(ii) 0,05
(iii) 0,05
(iv) 0,025

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