Explique as semelhanças e diferenças entre a distribuição normal e a distribuição
de Student com
graus de liberdade.
b) Em cada um dos casos, calcule a probabilidade indicada:
i)
;
ii)
;
iii)
, ou
,;
iv)
b) Em cada um dos casos, calcule a probabilidade indicada:
i)
ii)
iii)
iv)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro comparar a distribuição normal padrão
com a distribuição
de Student de
graus de liberdade; depois, em quatro casos específicos, calcular probabilidades envolvendo variáveis
que seguem essa distribuição
.
Passo 2
Semelhanças:
– Ambas são contínuas, simétricas em torno de zero e têm formato de sino.
– Quando os graus de liberdade crescem muito, a
de Student converge para
.
– Ambas são contínuas, simétricas em torno de zero e têm formato de sino.
– Quando os graus de liberdade
Diferenças:
– A de Student tem “caudas” mais pesadas que a normal, o que reflete maior incerteza quando amostras são pequenas.
– A variância da normal padrão é exatamente 1, enquanto a da é
(para
), maior que 1.
– Em aplicações práticas, usa-se a quando a variância populacional é desconhecida e estimada pela amostra.
– A
– A variância da normal padrão é exatamente 1, enquanto a da
– Em aplicações práticas, usa-se a
Passo 3
Caso (i): calcular
Pela simetria e tabelas de
, sabe-se que
isto é, a área à direita de
é
. Logo
Passo 4
Caso (ii): calcular
Pela simetria,
Da tabela,
, então a área de uma cauda é
. Logo
Passo 5
Caso (iii): calcular
Isto é um teste bilateral. Pela simetria, cada cauda tem área igual a
Logo
Passo 6
Caso (iv): calcular
Para
grande, a
fica muito próxima da normal padrão. Na normal temos
E na
obtém-se praticamente o mesmo valor, cerca de
.
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(ii)
(iii)
(iv)