Uma distribuição amostral é a distribuição de probabilidade de uma estatística da amostra que é formada quando amostras de tamanho n são repetidamente colhidas de uma população. Se uma estatística da amostra é a sua média, temos uma distribuição amostral de médias das amostras. Sobre a distribuição das médias das amostras, leia as asserções que seguem e a relação proposta entre elas. A distribuição das médias das amostras tem o mesmo centro que a população, mas não tem a mesma dispersão. A distribuição de médias das amostras têm a mesma média que a população, mas o desvio padrão é menor que o da população. A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.
a. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
b. As asserções I e II são falsas.
c. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
d. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
e. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.
a. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
b. As asserções I e II são falsas.
c. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
d. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
e. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício fala sobre distribuição amostral, que é a distribuição das médias das amostras tiradas de uma população. Basicamente, quando tiramos várias amostras de tamanho $ n $ de uma população e calculamos a média de cada uma, essas médias formam uma distribuição. Precisamos analisar duas afirmações sobre essa distribuição e ver qual alternativa está correta.
Passo 2
Primeiro, a Asserção I diz: “A distribuição das médias das amostras tem o mesmo centro que a população, mas não tem a mesma dispersão.”
Vamos entender isso. O “centro” da distribuição é a média. Segundo o Teorema Central do Limite, a média das médias das amostras ($ \mu_{\bar{X}}
\mu $). Isso confirma a primeira parte da asserção I.
A “dispersão” aqui se refere ao desvio padrão. A fórmula para o desvio padrão da distribuição amostral das médias é $ \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $, onde $ \sigma $ é o desvio padrão da população e $ n $ é o tamanho da amostra. Como $ \sqrt{n} $ é maior que 1, $ \sigma_{\bar{X}} $ será menor que $ \sigma $. Então, a dispersão é menor, confirmando que não é a mesma da população.
Portanto, a Asserção I é verdadeira.
Passo 3
Agora, a Asserção II diz: “A distribuição de médias das amostras têm a mesma média que a população, mas o desvio padrão é menor que o da população.”
Já vimos que a média das médias é igual à média da população ($ \mu_{\bar{X}} = \mu
\sigma_{\bar{X}}
\sigma $), pois $ \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $.
Portanto, a Asserção II também é verdadeira.
Passo 4
Agora, precisamos ver a relação entre as duas asserções. A alternativa que diz que ambas são verdadeiras e que a II justifica a I está correta, já que a II explica por que a dispersão da distribuição amostral é menor.
Resposta
e. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.