A unidade de medida da densidade da intensidade de luz é denominada lux, sendo que um lux corresponde a um watt por metro quadrado (1 lux = 1 W/m²). A intensidade da luz segue distribuição de Poisson com taxa média (λ) igual a 0,5 partículas por segundo, e que emitida por uma fonte fotovoltaica é sensibilizada ao ser atingida por 3 ou mais partículas. Considerando o contexto apresentado, calcule o que se pede a seguir:
  1. Quantas partículas a fonte fotovoltaica emite em média a cada 2 segundos?
  2. Calcule a probabilidade de a fonte fotovoltaica emitir menos de 3 partículas em 2 segundos.
  3. Calcule a probabilidade de uma placa, exposta por 2 segundos à frente da fonte fotovoltaica, ficar sensibilizada.
  4. Se 5 placas são colocadas, uma após outra, durante 2 segundos cada uma em frente à fonte, qual a probabilidade de somente uma delas ser sensibilizada?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre a intensidade da luz medida em lux, onde 1 lux é igual a 1 watt por metro quadrado (1 lux = 1 W/m²). A intensidade da luz segue uma distribuição de Poisson, que é uma forma de modelar eventos que acontecem de forma aleatória, com uma taxa média de λ = 0,5 partículas por segundo. Aqui, a fonte fotovoltaica fica sensibilizada (ou seja, responde) quando recebe 3 ou mais partículas. Vamos resolver as quatro partes do exercício passo a passo, usando conceitos de estatística e probabilidade.

Passo 2

1. Quantas partículas a fonte fotovoltaica emite em média a cada 2 segundos?
Primeiro, precisamos entender que a taxa média λ é de 0,5 partículas por segundo. Para encontrar a média em 2 segundos, simplesmente multiplicamos λ pelo tempo.
Média (μ) = λ × tempo
μ = 0,5 partículas/segundo × 2 segundos
μ = 1 partícula

Passo 3

2. Calcule a probabilidade de a fonte fotovoltaica emitir menos de 3 partículas em 2 segundos.
Aqui, vamos usar a distribuição de Poisson. A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(k; mu) = mu^k e^-muk!
Onde:
  • $ \mu $ é a média (neste caso, 1 partícula em 2 segundos)
  • $ k $ é o número de partículas
  • $ e $ é aproximadamente 2,71828
Queremos a probabilidade de emitir menos de 3 partículas, ou seja, $ P(k < 3) = P(0) + P(1) + P(2) $.
Vamos calcular cada termo:
mu
k
e
Agora, somamos essas probabilidades:
P(k < 3) = P(0) + P(1) + P(2)

Passo 4

3. Calcule a probabilidade de uma placa, exposta por 2 segundos à frente da fonte fotovoltaica, ficar sensibilizada.
A placa fica sensibilizada se receber 3 ou mais partículas em 2 segundos. Isso é $ P(k \geq 3) $.
Sabemos que $ P(k \geq 3) = 1 - P(k < 3) $. Já calculamos $ P(k < 3) \approx 0,9197 $.
Então:
P(k >= 3)
Portanto, a probabilidade é de aproximadamente 8,03%.

Passo 5

4. Se 5 placas são colocadas, uma após outra, durante 2 segundos cada uma em frente à fonte, qual a probabilidade de somente uma delas ser sensibilizada?
Aqui, temos 5 tentativas (placas) e queremos a probabilidade de exatamente 1 sucesso (sensibilizada) e 4 fracassos (não sensibilizadas). Vamos usar a distribuição binomial, que é adequada para esse tipo de situação.
A fórmula da distribuição binomial é:
P(k; n, p) = binomnk p^k (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ n = 5 $ (número de placas)
  • $ k = 1 $ (número de sensibilizadas)
  • $ p = 0,0803 $ (probabilidade de uma placa ser sensibilizada)
Calculando:
n = 5
k = 1
Primeiro, calculamos $ (1 - 0,0803)^{4} $:
p = 0,0803
Agora, multiplicamos tudo:
binom51 = 5
Então, a probabilidade é de aproximadamente 28,75%.

Resposta

  1. A fonte emite, em média, 1 partícula a cada 2 segundos.
  2. A probabilidade de emitir menos de 3 partículas em 2 segundos é de aproximadamente 91,97%.
  3. A probabilidade de uma placa ficar sensibilizada é de aproximadamente 8,03%.
  4. A probabilidade de, em 5 placas colocadas sequencialmente, somente uma ser sensibilizada é de aproximadamente 28,75%.

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