Em uma fábrica, são produzidos lotes de 15 peças. A probabilidade de uma peça estar defeituosa é 0,05 . O gerente quer saber a probabilidade de, em um lote de 15 peças, o número de peças defeituosas seja no máximo 2 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que envolve probabilidade, mais especificamente a distribuição binomial. O enunciado diz que numa fábrica são produzidos lotes de 15 peças, e a chance de uma peça ser defeituosa é de 5% (ou 0,05). O gerente quer saber qual é a probabilidade de, em um lote de 15 peças, terem no máximo 2 peças defeituosas. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distribuição binomial, que nos ajuda a calcular a probabilidade de ocorrer exatamente um certo número de sucessos em uma série de tentativas independentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a fórmula da distribuição binomial. Ela é assim:
Onde:
- $ P(X = k) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ sucessos.
- $ C(n, k) $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ de cada vez.
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
- $ n $ é o número total de tentativas.
- $ k $ é o número de sucessos desejados.
No nosso caso:
- $ n = 15 $ (total de peças no lote)
- $ p = 0,05 $ (probabilidade de uma peça ser defeituosa)
- Queremos saber a probabilidade de ter no máximo 2 peças defeituosas, ou seja, $ k \leq 2 $.
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de ter exatamente 0, 1 e 2 peças defeituosas e depois somar essas probabilidades para obter a probabilidade de ter no máximo 2 defeituosas.
Primeiro, para $ k = 0 $:
Sabemos que $ C(15, 0) = 1 $ e $ 0,05^0 = 1 $, então:
Calculando $ 0,95^{15} $:
Então,
Passo 4
Agora, para $ k = 1 $:
Calculando os valores:
Então,
Passo 5
Por fim, para $ k = 2 $:
Calculando os valores:
Então,
Resposta
Agora, somamos as probabilidades encontradas:
Então, a probabilidade de, em um lote de 15 peças, o número de peças defeituosas ser no máximo 2 é aproximadamente 96,36%.