Em uma fábrica, são produzidos lotes de 15 peças. A probabilidade de uma peça estar defeituosa é 0,05 . O gerente quer saber a probabilidade de, em um lote de 15 peças, o número de peças defeituosas seja no máximo 2 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que envolve probabilidade, mais especificamente a distribuição binomial. O enunciado diz que numa fábrica são produzidos lotes de 15 peças, e a chance de uma peça ser defeituosa é de 5% (ou 0,05). O gerente quer saber qual é a probabilidade de, em um lote de 15 peças, terem no máximo 2 peças defeituosas. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distribuição binomial, que nos ajuda a calcular a probabilidade de ocorrer exatamente um certo número de sucessos em uma série de tentativas independentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a fórmula da distribuição binomial. Ela é assim:
P(X = k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ P(X = k) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ sucessos.
  • $ C(n, k) $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ de cada vez.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • $ n $ é o número total de tentativas.
  • $ k $ é o número de sucessos desejados.
No nosso caso:
  • $ n = 15 $ (total de peças no lote)
  • $ p = 0,05 $ (probabilidade de uma peça ser defeituosa)
  • Queremos saber a probabilidade de ter no máximo 2 peças defeituosas, ou seja, $ k \leq 2 $.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de ter exatamente 0, 1 e 2 peças defeituosas e depois somar essas probabilidades para obter a probabilidade de ter no máximo 2 defeituosas.
Primeiro, para $ k = 0 $:
k = 0
Sabemos que $ C(15, 0) = 1 $ e $ 0,05^0 = 1 $, então:
P(X = 0) = C(15, 0) times 0,05^0 times (1 - 0,05)^15
Calculando $ 0,95^{15} $:
C(15, 0) = 1
Então,
0,05^0 = 1

Passo 4

Agora, para $ k = 1 $:
k = 1
Calculando os valores:
P(X = 1) = C(15, 1) times 0,05^1 times (1 - 0,05)^14
C(15, 1) = 15
0,05^1 = 0,05
Então,
(1 - 0,05)^14 = 0,95^14 approx 0,4870
P(X = 1) = 15 times 0,05 times 0,4870
P(X = 1) approx 15 times 0,05 times 0,4870

Passo 5

Por fim, para $ k = 2 $:
k = 2
Calculando os valores:
P(X = 2) = C(15, 2) times 0,05^2 times (1 - 0,05)^13
C(15, 2) = 15!2!(15-2)! = 15 times 142 times 1 = 105
0,05^2 = 0,0025
Então,
(1 - 0,05)^13 = 0,95^13 approx 0,5133
P(X = 2) = 105 times 0,0025 times 0,5133
P(X = 2) approx 105 times 0,0025 times 0,5133

Resposta

Agora, somamos as probabilidades encontradas:
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
P(X <= 2) approx 0,4633 + 0,3653 + 0,1350
P(X <= 2) approx 0,9636
Então, a probabilidade de, em um lote de 15 peças, o número de peças defeituosas ser no máximo 2 é aproximadamente 96,36%.

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