Distribuição de Carga: A carga em um cluster é
C(n)=\frac{2 n^{2}}{n+1}
onde n é o número de requisições. Determine C(3) e discuta o domínio prático considerando n \in \mathbb{Z}^{+}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função que representa a carga em um cluster em função do número de requisições:
C(n)=\frac{2 n^{2}}{n+1},
onde n é o número de requisições. O que se pede:
  • Determinar C(3).
  • Discutir o domínio prático da função, considerando n\in\mathbb{Z}^{+}.
Informações relevantes recebidas:
  • A fórmula explícita de C(n).
  • A interpretação de n: número de requisições (valor discreto).
  • A restrição indicada no enunciado: n\in\mathbb{Z}^{+} (números inteiros positivos).

Passo 2

Calcular C(3) substituindo n=3 na expressão. Aqui explico cada passo da conta para você conseguir repetir na prova:
C(3)=\frac{2\cdot 3^{2}}{3+1}.
Primeiro calcule 3^{2}:
3^{2}=9.
Então o numerador fica 2\cdot 9=18 e o denominador é 3+1=4. Logo,
C(3)=\frac{18}{4}.

Passo 3

Simplificar a fração \dfrac{18}{4}. Dividindo numerador e denominador por 2:
\frac{18}{4}=\frac{9}{2}.
Transformando em decimal (se preferir), divide-se 9 por 2:
\frac{9}{2}=4,5.
Portanto o valor exato é \dfrac{9}{2} e o valor decimal é 4,5. Interpretação: com 3 requisições a carga prevista pela fórmula é 4,5 unidades (a unidade depende do contexto do problema).

Passo 4

Discutir o domínio da função do ponto de vista puramente algébrico. A expressão \dfrac{2n^{2}}{n+1} tem uma restrição quando o denominador é zero. Então devemos excluir
n=-1
do domínio real. Portanto, como função real, C(n) está definida para todos os n\in\mathbb{R} com n\neq-1.

Passo 5

Converter essa informação para o domínio prático com n\in\mathbb{Z}^{+}. Como n representa número de requisições:
  • Pedidos são discretos, logo faz sentido tomar n inteiro.
  • O enunciado já especificou n\in\mathbb{Z}^{+}, isto é n=1,2,3,\dots. (Observação: algumas convenções incluem 0 em \mathbb{Z}^{+}, mas aqui seguiremos a convenção usual de inteiros positivos começando em 1; se precisasse incluir 0 o enunciado deveria dizer explicitamente.)
  • Para todo n\in\mathbb{Z}^{+} o denominador n+1 nunca é zero, então a fórmula é válida para todos esses n.
Se no contexto a carga tiver de ser obrigatoriamente inteira (por exemplo, contar unidades indivisíveis), então o valor C(n) pode ser interpretado como uma média ou estimativa contínua e, na aplicação prática, arredondado para inteiro (com atenção a políticas de arredondamento: piso, teto ou arredondamento ao inteiro mais próximo). Mas matematicamente não há problema em C(n) ser não inteiro.

Passo 6

Comentar o comportamento da função (útil na prova para justificar validade em n grandes). Faço uma divisão polinomial para ver o crescimento:
\frac{2n^{2}}{n+1}=2n-2+\frac{2}{n+1}.
Explicando como saiu isso: multiplicando (2n-2)(n+1) obtém-se 2n^{2}-2, sobra resto +2, daí o termo final \dfrac{2}{n+1}. Consequências:
  • Para n grande, C(n)\approx 2n-2; ou seja, a carga cresce praticamente de forma linear com n (coeficiente dominante 2).
  • A função é crescente para n>0. Mostrando isso rapidamente calculando a derivada (tratando n como variável real para analisar monotonicidade):
C'(n)=\frac{2n(n+2)}{(n+1)^{2}}.
Para n>0 temos C'(n)>0, então C(n) cresce quando n aumenta — comportamento coerente com a ideia de mais requisições causando mais carga.

Passo 7

Resumo prático e incentivo: a conta ficou simples, e o resultado é explícito e bem comportado para todos os n inteiros positivos. Se estiver nervoso na prova, lembra: plug-in direto + simplificação de fração. Você consegue!

Resposta

C(3)=\dfrac{9}{2}=4,5
Domínio prático: n\in\mathbb{Z}^{+}, isto é n=1,2,3,\dots; para esses n a função está bem definida e é crescente.

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