Uma distribuição de cargas no espaço livre tem
para
e é zero em todos os outros pontos do espaço. Determine:
(a) o campo elétrico em
,
(b) o fluxo elétrico que sai da superfície esférica
. (2,5pto)
(a) o campo elétrico em
(b) o fluxo elétrico que sai da superfície esférica
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletricidade! O enunciado fala sobre uma distribuição de cargas no espaço livre com uma densidade de carga
para
e zero em outros lugares. A gente vai precisar usar a Lei de Gauss para achar o campo elétrico em um ponto específico e o fluxo elétrico através de uma superfície esférica. Vamos por partes!
Passo 2
Parte (a): Determinar o campo elétrico em
.
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo
:
Como a distribuição de carga é esférica e depende apenas de
, podemos usar uma superfície gaussiana também esférica com raio
. O campo elétrico
será radial e constante na superfície gaussiana.
Agora, vamos calcular a carga encerrada
dentro de
:
Substituindo
:
Integrando
:
Agora, aplicamos a Lei de Gauss para achar
:
Resolvendo para
:
Passo 3
Parte (b): Determinar o fluxo elétrico que sai da superfície esférica
.
Aqui, como
é maior que 10 m, estamos considerando uma superfície gaussiana que envolve toda a distribuição de carga (já que a carga é zero além de 10 m).
Primeiro, calculamos a carga total
:
Agora, aplicamos a Lei de Gauss para achar o fluxo elétrico
:
Resposta
(a) O campo elétrico em
é aproximadamente
.
(b) O fluxo elétrico que sai da superfície esférica
é aproximadamente
.