Uma distribuição de cargas no espaço livre tem rhov=5 r^2 nC / m^3 para 0 <= r <= 10 m e é zero em todos os outros pontos do espaço. Determine:
(a) o campo elétrico em r=2 m,
(b) o fluxo elétrico que sai da superfície esférica r=12 m. (2,5pto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletricidade! O enunciado fala sobre uma distribuição de cargas no espaço livre com uma densidade de carga rhov = 5 r^2 , nC/m^3 para 0 <= r <= 10 , m e zero em outros lugares. A gente vai precisar usar a Lei de Gauss para achar o campo elétrico em um ponto específico e o fluxo elétrico através de uma superfície esférica. Vamos por partes!

Passo 2

Parte (a): Determinar o campo elétrico em r = 2 , m.
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo varepsilon0:
PhiE = oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Como a distribuição de carga é esférica e depende apenas de r, podemos usar uma superfície gaussiana também esférica com raio r = 2 , m. O campo elétrico E será radial e constante na superfície gaussiana.
Agora, vamos calcular a carga encerrada Qenc dentro de r = 2 , m:
Qenc = integral0^2 rhov cdot 4pi r'^2 , dr'
Substituindo rhov = 5 r'^2 , nC/m^3:
Qenc = integral0^2 5 r'^2 cdot 4pi r'^2 , dr' = 20pi integral0^2 r'^4 , dr'
Integrando r'^4:
Qenc = 20pi [ r'^55 ]0^2 = 20pi ( 325 ) = 640pi5 = 128pi , nC
Agora, aplicamos a Lei de Gauss para achar E:
E cdot 4pi (2)^2 = 128pi times 10^-98.85 times 10^-12
Resolvendo para E:
E = 128pi times 10^-94pi (4) times 8.85 times 10^-12 = 128 times 10^-916 times 8.85 times 10^-12 approx 9.13 times 10^3 , N/C

Passo 3

Parte (b): Determinar o fluxo elétrico que sai da superfície esférica r = 12 , m.
Aqui, como r = 12 , m é maior que 10 m, estamos considerando uma superfície gaussiana que envolve toda a distribuição de carga (já que a carga é zero além de 10 m).
Primeiro, calculamos a carga total Qtotal:
Qtotal = integral0^10 5 r'^2 cdot 4pi r'^2 , dr' = 20pi integral0^10 r'^4 , dr' = 20pi [ r'^55 ]0^10 = 20pi ( 1000005 ) = 40000pi , nC
Agora, aplicamos a Lei de Gauss para achar o fluxo elétrico PhiE:
PhiE = Qtotalvarepsilon0 = 40000pi times 10^-98.85 times 10^-12 approx 1.43 times 10^6 , N·m^2/C

Resposta

(a) O campo elétrico em r = 2 , m é aproximadamente 9.13 times 10^3 , N/C.
(b) O fluxo elétrico que sai da superfície esférica r = 12 , m é aproximadamente 1.43 times 10^6 , N·m^2/C.

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