No espaço livre existe uma carga pontual de
em
e um plano de carga
em
. Determine:
(a) o campo elétrico em
),
(b) a força elétrica sobre a carga pontual,
© a força elétrica sobre o plano de carga. ( 2,5 pto)
(a) o campo elétrico em
(b) a força elétrica sobre a carga pontual,
© a força elétrica sobre o plano de carga. ( 2,5 pto)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma carga pontual de
localizada no ponto
e um plano de carga com densidade superficial
situado em
. Precisamos determinar:
(a) O campo elétrico no ponto
,
(b) A força elétrica sobre a carga pontual,
© A força elétrica sobre o plano de carga.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico gerado por cargas pontuais e por superfícies carregadas, além da lei de Coulomb para calcular forças elétricas.
Passo 2
Vamos começar pelo item (a): calcular o campo elétrico no ponto
.
Primeiro, precisamos encontrar o campo elétrico gerado pela carga pontual no ponto
e o campo elétrico gerado pelo plano de carga no mesmo ponto. Depois, somamos esses campos vetorialmente para obter o campo total em
.
Campo elétrico de uma carga pontual:
A fórmula para o campo elétrico gerado por uma carga pontual
em um ponto a uma distância
é:
onde
é a constante eletrostática,
é a carga,
é a distância entre a carga e o ponto, e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
Calculando a distância e direção entre A e P:
As coordenadas de
são
e as de
são
. A distância
entre A e P é dada pela fórmula da distância entre dois pontos no espaço:
Substituindo:
O vetor
aponta de A para P:
O vetor unitário
é
dividido pela sua magnitude:
Passo 4
Calculando o campo elétrico da carga pontual em P:
Agora, aplicamos a fórmula do campo elétrico:
Calculando:
Passo 5
Campo elétrico do plano de carga em P:
Para um plano infinito com densidade superficial de carga
, o campo elétrico é dado por:
onde
é a permissividade do vácuo e
é o vetor normal ao plano.
Neste caso, o plano está em
, então a normal pode ser na direção
. Como estamos calculando o campo em
, que está abaixo do plano, o campo é direcionado para baixo, ou seja, na direção
.
Calculando:
Passo 6
Somando os campos elétricos:
Agora, somamos os campos elétricos da carga pontual e do plano no ponto P:
Resposta
O campo elétrico no ponto
é: