No espaço livre existe uma carga pontual de 2,5 mu C em A(x=6 m, y=1 m, z=-4 m) e um plano de carga rhoS=10 nC / m^2 em z=1 m. Determine:
(a) o campo elétrico em P(x=3 m, y=1 m, z=-7 m),
(b) a força elétrica sobre a carga pontual,
© a força elétrica sobre o plano de carga. ( 2,5 pto)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma carga pontual de 2,5, muC localizada no ponto A(x=6, m, y=1, m, z=-4, m) e um plano de carga com densidade superficial rhoS = 10, nC/m^2 situado em z=1, m. Precisamos determinar:
(a) O campo elétrico no ponto P(x=3, m, y=1, m, z=-7, m),
(b) A força elétrica sobre a carga pontual,
© A força elétrica sobre o plano de carga.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico gerado por cargas pontuais e por superfícies carregadas, além da lei de Coulomb para calcular forças elétricas.

Passo 2

Vamos começar pelo item (a): calcular o campo elétrico no ponto P.
Primeiro, precisamos encontrar o campo elétrico gerado pela carga pontual no ponto P e o campo elétrico gerado pelo plano de carga no mesmo ponto. Depois, somamos esses campos vetorialmente para obter o campo total em P.
Campo elétrico de uma carga pontual:
A fórmula para o campo elétrico gerado por uma carga pontual Q em um ponto a uma distância r é:
E = k cdot Qr^2 cdot r
onde k = 8,99 times 10^9, N,m^2/C^2 é a constante eletrostática, Q é a carga, r é a distância entre a carga e o ponto, e r é o vetor unitário na direção de r.

Passo 3

Calculando a distância e direção entre A e P:
As coordenadas de A são (6, 1, -4) e as de P são (3, 1, -7). A distância r entre A e P é dada pela fórmula da distância entre dois pontos no espaço:
r = raiz(xP - xA)^2 + (yP - yA)^2 + (zP - zA)^2
Substituindo:
r = raiz(3 - 6)^2 + (1 - 1)^2 + (-7 - (-4))^2 = raiz(-3)^2 + 0^2 + (-3)^2 = raiz9 + 0 + 9 = raiz18 approx 4,24, m
O vetor r aponta de A para P:
r = (3 - 6),i + (1 - 1),j + (-7 - (-4)),k = -3,i + 0,j -3,k
O vetor unitário r é r dividido pela sua magnitude:
r = -3,i -3,k4,24 approx -0,707,i -0,707,k

Passo 4

Calculando o campo elétrico da carga pontual em P:
Agora, aplicamos a fórmula do campo elétrico:
Epontual = 8,99 times 10^9, N,m^2/C^2 cdot 2,5 times 10^-6, C(4,24, m)^2 cdot (-0,707,i -0,707,k)
Calculando:
Epontual = 8,99 times 10^9 times 2,5 times 10^-618 cdot (-0,707,i -0,707,k) approx 2,2475 times 10^418 cdot (-0,707,i -0,707,k) approx 1,2486 times 10^3, N/C cdot (-0,707,i -0,707,k)
Epontual approx -883,i -883,k, N/C

Passo 5

Campo elétrico do plano de carga em P:
Para um plano infinito com densidade superficial de carga rhoS, o campo elétrico é dado por:
Eplano = rhoS2 varepsilon0 cdot n
onde varepsilon0 = 8,85 times 10^-12, C^2/(N,m^2) é a permissividade do vácuo e n é o vetor normal ao plano.
Neste caso, o plano está em z=1, m, então a normal pode ser na direção +z. Como estamos calculando o campo em P(z=-7, m), que está abaixo do plano, o campo é direcionado para baixo, ou seja, na direção -k.
Calculando:

Passo 6

Somando os campos elétricos:
Agora, somamos os campos elétricos da carga pontual e do plano no ponto P:
Etotal = Epontual + Eplano = (-883,i -883,k) + (0,i -564,k) = -883,i -1447,k, N/C

Resposta

O campo elétrico no ponto P(3, m, 1, m, -7, m) é:
Etotal = -883,i -1447,k, N/C

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