Ao longo do eixo x existe uma linha de carga rhoL=5 nC / m. Calcule:
(a) a diferença de potencial VAB produzida, onde A(x=-1 m, y=4 m, z=3 m) e B(x=3 m, y=2 m, z=1 m ),
(b) o trabalho realizado para mover uma carga pontual de 3 nC de B para A. (2,5pto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática juntos! O enunciado fala sobre uma linha de carga ao longo do eixo $ x $ com densidade de carga linear x . Precisamos calcular duas coisas:
a) A diferença de potencial $ V_{AB} $ entre os pontos A e B com coordenadas $ A(-1 , m, 4 , m, 3 , m) $ e $ B(3 , m, 2 , m, 1 , m) $.
b) O trabalho realizado para mover uma carga pontual de $ 3 , nC $ de B para A.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de potencial elétrico devido a uma linha de carga e a relação entre trabalho e diferença de potencial. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular o potencial elétrico devido a uma linha de carga infinita. A fórmula para o potencial $ V $ em um ponto a uma distância $ r $ da linha de carga é:
V
Aqui, $ \rho_L $ é a densidade de carga linear, $ \epsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo ($ \epsilon_0 \approx 8,85 \times 10^{-12} , C2/\text{N}\cdot\text{m}2 $), e $ r_0 $ é uma distância de referência que, para diferenças de potencial, pode ser cancelada.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as distâncias perpendiculares dos pontos A e B em relação ao eixo $ x $, já que a linha de carga está ao longo desse eixo. Para qualquer ponto $ (x, y, z) $, a distância $ r $ da linha de carga é dada por:
x
Vamos calcular isso para A e B.

Passo 4

Para o ponto A (-1 , m, 4 , m, 3 , m):
rA = raiz4^2 + 3^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5 , m
Para o ponto B (3 , m, 2 , m, 1 , m):
rB = raiz2^2 + 1^2 = raiz4 + 1 = raiz5 approx 2,24 , m

Passo 5

Agora, vamos calcular o potencial nos pontos A e B usando a fórmula mencionada:
VA = rhoL2piepsilon0 ln(rAr0)
VB = rhoL2piepsilon0 ln(rBr0)
Como vamos calcular a diferença de potencial $ V_{AB} = V_B - V_A $, o termo $ \ln\left(\frac{1}{r_0}\right) $ se cancela, ficando:
VAB = VB - VA

Passo 6

Substituindo os valores:
VAB = 5 times 10^-9 , C/m2pi times 8,85 times 10^-12 , C^2/Ncdotm^2 ln(2,245)
Calculando a parte numérica:
VAB approx 5 times 10^-92pi times 8,85 times 10^-12 ln(0,448)
VAB approx 5 times 10^-95,56 times 10^-11 times (-0,8)
VAB approx 89,89 times (-0,8) approx -71,9 , V

Passo 7

Agora, para a parte (b), o trabalho realizado para mover uma carga $ q $ de B para A é dado por:
q
Substituindo os valores:
W = q times VAB

Resposta

a) A diferença de potencial $ V_{AB} $ é aproximadamente VAB .
b) O trabalho realizado para mover a carga de 3 nC de B para A é -71,9 , V.

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