Ao longo do eixo
existe uma linha de carga
. Calcule:
(a) a diferença de potencial
produzida, onde
e
),
(b) o trabalho realizado para mover uma carga pontual de 3 nC de B para A. (2,5pto)
(a) a diferença de potencial
(b) o trabalho realizado para mover uma carga pontual de 3 nC de B para A. (2,5pto)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática juntos! O enunciado fala sobre uma linha de carga ao longo do eixo $ x $ com densidade de carga linear
. Precisamos calcular duas coisas:
a) A diferença de potencial $ V_{AB} $ entre os pontos A e B com coordenadas $ A(-1 , m, 4 , m, 3 , m) $ e $ B(3 , m, 2 , m, 1 , m) $.
b) O trabalho realizado para mover uma carga pontual de $ 3 , nC $ de B para A.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de potencial elétrico devido a uma linha de carga e a relação entre trabalho e diferença de potencial. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular o potencial elétrico devido a uma linha de carga infinita. A fórmula para o potencial $ V $ em um ponto a uma distância $ r $ da linha de carga é:
Aqui, $ \rho_L $ é a densidade de carga linear, $ \epsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo ($ \epsilon_0 \approx 8,85 \times 10^{-12} , C2/\text{N}\cdot\text{m}2 $), e $ r_0 $ é uma distância de referência que, para diferenças de potencial, pode ser cancelada.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as distâncias perpendiculares dos pontos A e B em relação ao eixo $ x $, já que a linha de carga está ao longo desse eixo. Para qualquer ponto $ (x, y, z) $, a distância $ r $ da linha de carga é dada por:
Vamos calcular isso para A e B.
Passo 4
Para o ponto A
:
Para o ponto B
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o potencial nos pontos A e B usando a fórmula mencionada:
Como vamos calcular a diferença de potencial $ V_{AB} = V_B - V_A $, o termo $ \ln\left(\frac{1}{r_0}\right) $ se cancela, ficando:
Passo 6
Substituindo os valores:
Calculando a parte numérica:
Passo 7
Agora, para a parte (b), o trabalho realizado para mover uma carga $ q $ de B para A é dado por:
Substituindo os valores:
Resposta
a) A diferença de potencial $ V_{AB} $ é aproximadamente
.
b) O trabalho realizado para mover a carga de 3 nC de B para A é
.