Quatro cargas pontuais q1=q2=q3=2 mu C e q4=6 mu C estão posicionadas nos vértices de um quadrado de lado 2 m . Determine
(a) a energia elétrica armazenada no sistema.
(b) Se a carga q4 for retirada, qual será a nova energia do sistema? (2,5 pto )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro cargas pontuais: três de $ 2 \mu \mathrm{C} $ e uma de $ 6 \mu \mathrm{C} $, todas posicionadas nos vértices de um quadrado com lado de 2 metros. O conteúdo principal aqui é energia elétrica armazenada em um sistema de cargas, que usa conceitos de física eletrostática, especialmente a energia potencial elétrica entre pares de cargas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a energia elétrica total armazenada no sistema é dada pela soma da energia potencial entre todos os pares de cargas. A fórmula para a energia potencial entre duas cargas $ q_i $ e $ q_j $ é:
qi
onde:
  • $ k = 9 \times 10^9 , \mathrm{N \cdot m2/C2} $ é a constante eletrostática,
  • $ q_i $ e $ q_j $ são as cargas,
  • $ r_{ij} $ é a distância entre elas.
Como temos quatro cargas, vamos identificar todos os pares possíveis e calcular a energia de cada par.

Passo 3

Vamos identificar os pares de cargas no quadrado:
  1. Lados do quadrado: cada lado tem comprimento de 2 m, e temos 4 pares assim.
  2. Diagonais do quadrado: a distância entre diagonais é $ r = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2} $ metros, e temos 2 pares assim.
Agora, vamos calcular a energia para cada tipo de par.

Passo 4

Primeiro, calculamos a energia dos pares que estão nos lados do quadrado. Como temos 4 lados e as cargas são $ 2 \mu \mathrm{C} $ e $ 6 \mu \mathrm{C} $, precisamos verificar quais pares estão formados:
  • Pares entre duas cargas de $ 2 \mu \mathrm{C} $: temos 2 pares.
  • Pares entre $ 2 \mu \mathrm{C} $ e $ 6 \mu \mathrm{C} $: temos 2 pares.
Vamos calcular cada um:
Para cargas $ 2 \mu \mathrm{C} $:
2 mu C
Como são 2 pares:
6 mu C μ
Para cargas $ 2 \mu \mathrm{C} $ e $ 6 \mu \mathrm{C} $:
2 mu C
Como são 2 pares:
2 mu C μμ

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia dos pares que estão nas diagonais do quadrado. Temos 2 pares, cada um com uma carga de $ 2 \mu \mathrm{C} $ e uma de $ 6 \mu \mathrm{C} $. A distância nas diagonais é $ 2\sqrt{2} $ metros.
2 mu C
Como são 2 pares:
6 mu C

Passo 6

Finalmente, somamos todas as energias calculadas:
Utotal = Ulados, 2μC + Ulados, 2μC e 6μC + Udiagonais μμμ
Utotal = 36 times 10^-3 + 108 times 10^-3 + 76.356 times 10^-3 = 220.356 times 10^-3 , J

Passo 7

Agora, para a parte (b), se retirarmos a carga $ q_4 = 6 \mu \mathrm{C} $, restam apenas três cargas de $ 2 \mu \mathrm{C} $ nos vértices do quadrado. Vamos recalcular a energia elétrica nesse novo arranjo.

Passo 8

Com três cargas de $ 2 \mu \mathrm{C} $, temos os seguintes pares:
  • Pares entre duas cargas de $ 2 \mu \mathrm{C} $: há 3 pares (formando um triângulo).
As distâncias são todas de 2 metros, já que ainda é um quadrado com uma carga removida. A energia de cada par é:
2 mu C
Como são 3 pares:
2 mu C

Resposta

Após retirar a carga $ q_4 $, a nova energia elétrica do sistema é $ 54 , mJ $.

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