Quatro cargas pontuais
e
estão posicionadas nos vértices de um quadrado de lado 2 m . Determine
(a) a energia elétrica armazenada no sistema.
(b) Se a carga
for retirada, qual será a nova energia do sistema?
pto
(a) a energia elétrica armazenada no sistema.
(b) Se a carga
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro cargas pontuais: três de $ 2 \mu \mathrm{C} $ e uma de $ 6 \mu \mathrm{C} $, todas posicionadas nos vértices de um quadrado com lado de 2 metros. O conteúdo principal aqui é energia elétrica armazenada em um sistema de cargas, que usa conceitos de física eletrostática, especialmente a energia potencial elétrica entre pares de cargas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a energia elétrica total armazenada no sistema é dada pela soma da energia potencial entre todos os pares de cargas. A fórmula para a energia potencial entre duas cargas $ q_i $ e $ q_j $ é:
onde:
- $ k = 9 \times 10^9 , \mathrm{N \cdot m2/C2} $ é a constante eletrostática,
- $ q_i $ e $ q_j $ são as cargas,
- $ r_{ij} $ é a distância entre elas.
Como temos quatro cargas, vamos identificar todos os pares possíveis e calcular a energia de cada par.
Passo 3
Vamos identificar os pares de cargas no quadrado:
- Lados do quadrado: cada lado tem comprimento de 2 m, e temos 4 pares assim.
- Diagonais do quadrado: a distância entre diagonais é $ r = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2} $ metros, e temos 2 pares assim.
Agora, vamos calcular a energia para cada tipo de par.
Passo 4
Primeiro, calculamos a energia dos pares que estão nos lados do quadrado. Como temos 4 lados e as cargas são $ 2 \mu \mathrm{C} $ e $ 6 \mu \mathrm{C} $, precisamos verificar quais pares estão formados:
- Pares entre duas cargas de $ 2 \mu \mathrm{C} $: temos 2 pares.
- Pares entre $ 2 \mu \mathrm{C} $ e $ 6 \mu \mathrm{C} $: temos 2 pares.
Vamos calcular cada um:
Para cargas $ 2 \mu \mathrm{C} $:
Como são 2 pares:
Para cargas $ 2 \mu \mathrm{C} $ e $ 6 \mu \mathrm{C} $:
Como são 2 pares:
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia dos pares que estão nas diagonais do quadrado. Temos 2 pares, cada um com uma carga de $ 2 \mu \mathrm{C} $ e uma de $ 6 \mu \mathrm{C} $. A distância nas diagonais é $ 2\sqrt{2} $ metros.
Como são 2 pares:
Passo 6
Finalmente, somamos todas as energias calculadas:
Passo 7
Agora, para a parte (b), se retirarmos a carga $ q_4 = 6 \mu \mathrm{C} $, restam apenas três cargas de $ 2 \mu \mathrm{C} $ nos vértices do quadrado. Vamos recalcular a energia elétrica nesse novo arranjo.
Passo 8
Com três cargas de $ 2 \mu \mathrm{C} $, temos os seguintes pares:
- Pares entre duas cargas de $ 2 \mu \mathrm{C} $: há 3 pares (formando um triângulo).
As distâncias são todas de 2 metros, já que ainda é um quadrado com uma carga removida. A energia de cada par é:
Como são 3 pares:
Resposta
Após retirar a carga $ q_4 $, a nova energia elétrica do sistema é $ 54 , mJ $.