Um volume esférico que tem raio de
contém uma densidade volumétrica uniforme de carga
. (b) Considere agora que uma grande região contenha uma dessas pequenas esferas em cada vértice de uma estrutura cúbica de 3 mm de lado, e que não existam cargas entre as esferas. Qual é a densidade volumétrica de carga média nessa grande região?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera com raio de
que tem uma densidade de carga uniforme de
. Agora, imagina que colocamos várias dessas esferas nos vértices de um cubo que tem 3 mm de lado, e não tem cargas entre as esferas. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a densidade volumétrica de carga média nessa grande região. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre densidade de carga e como calcular a carga total em um sistema com várias partes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a carga total de uma única esfera. A densidade volumétrica de carga (
) é a quantidade de carga por unidade de volume. A fórmula para a carga total (
) é:
onde
é o volume da esfera. O volume de uma esfera é dado por:
Vamos substituir os valores:
Então,
Passo 3
Agora, calculamos a carga total da esfera:
Passo 4
Em seguida, vamos considerar quantas esferas estão presentes no cubo. Um cubo tem 8 vértices, e cada vértice é compartilhado por 8 cubos adjacentes na estrutura cúbica. Portanto, cada esfera contribui com
da sua carga para o cubo em questão.
Assim, a carga total no cubo (
) é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o volume do grande cubo. A aresta do cubo é 3 mm, ou seja,
. O volume (
) é:
Passo 6
Finalmente, para encontrar a densidade volumétrica de carga média (
) na grande região, usamos a fórmula:
Resposta
A densidade volumétrica de carga média na grande região é
, ou aproximadamente
.