Um volume esférico que tem raio de 2 mu m contém uma densidade volumétrica uniforme de carga 10^5 C / m^3. (b) Considere agora que uma grande região contenha uma dessas pequenas esferas em cada vértice de uma estrutura cúbica de 3 mm de lado, e que não existam cargas entre as esferas. Qual é a densidade volumétrica de carga média nessa grande região?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera com raio de 2, mum que tem uma densidade de carga uniforme de 10^5, C/m^3. Agora, imagina que colocamos várias dessas esferas nos vértices de um cubo que tem 3 mm de lado, e não tem cargas entre as esferas. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a densidade volumétrica de carga média nessa grande região. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre densidade de carga e como calcular a carga total em um sistema com várias partes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga total de uma única esfera. A densidade volumétrica de carga ( rho) é a quantidade de carga por unidade de volume. A fórmula para a carga total ( Q) é:
Q = rho times V
onde V é o volume da esfera. O volume de uma esfera é dado por:
V = 43pi r^3
Vamos substituir os valores:
r = 2, mum = 2 times 10^-6, m
Então,
V = 43pi (2 times 10^-6)^3 = 43pi (8 times 10^-18) = 323pi times 10^-18, m^3

Passo 3

Agora, calculamos a carga total da esfera:
Q = 10^5, C/m^3 times 323pi times 10^-18, m^3 = 323pi times 10^-13, C

Passo 4

Em seguida, vamos considerar quantas esferas estão presentes no cubo. Um cubo tem 8 vértices, e cada vértice é compartilhado por 8 cubos adjacentes na estrutura cúbica. Portanto, cada esfera contribui com 18 da sua carga para o cubo em questão.
Assim, a carga total no cubo ( Qtotal) é:
Qtotal = 8 times (18 times 323pi times 10^-13, C) = 323pi times 10^-13, C

Passo 5

Agora, vamos calcular o volume do grande cubo. A aresta do cubo é 3 mm, ou seja, 3 times 10^-3, m. O volume ( Vcubo) é:
Vcubo = (3 times 10^-3)^3 = 27 times 10^-9, m^3

Passo 6

Finalmente, para encontrar a densidade volumétrica de carga média ( rhomédiaé) na grande região, usamos a fórmula:
rhomédia = QtotalVcubo = 323pi times 10^-13, C27 times 10^-9, m^3 = 32pi81 times 10^-4, C/m^3 é

Resposta

A densidade volumétrica de carga média na grande região é 32pi81 times 10^-4, C/m^3, ou aproximadamente 12,45 times 10^-4, C/m^3.

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