1. A distribuição dos diâmetros de parafusos produzidos por certa máquina é normal. Sabe-se que o desvio padrão é 0,17 \mathrm{~mm}. Uma amostra de seis parafusos é retirada ao acaso: 25,4 \quad 25,2 \quad 26,6 \quad 25,3 25,0 \quad 25,4. Construa um intervalo que contenha o diâmetro médio da população considerando um nível de confiança de 90 \%.

Passo 1

O enunciado diz que os diâmetros de parafusos seguem uma distribuição normal com desvio padrão conhecido \sigma=0,17 mm. Retirou-se uma amostra aleatória de tamanho n=6 com observações \{25,4,\;25,2,\;26,6,\;25,3,\;25,0,\;25,4\}.
Queremos construir um intervalo de confiança de 90\% para a média populacional \mu, usando o procedimento de intervalo para média com \sigma conhecido (tabela z).

Passo 2

Calcular a média amostral \bar{x}:
\bar{x} = \frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6} x_i = \frac{25,4 + 25,2 + 26,6 + 25,3 + 25,0 + 25,4}{6} = \frac{152,9}{6} \approx 25,4833\;\text{mm}.

Passo 3

Determinar o valor crítico z_{1-\frac{\alpha}{2}}. Para nível de confiança 90\% temos \alpha=0,10 e \alpha/2=0,05, logo
z_{1 - \tfrac{\alpha}{2}} = z_{0,95} = 1,645.

Passo 4

Calcular o erro padrão da média e a margem de erro E:
\text{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0,17}{\sqrt{6}} \approx 0,06939\;\text{mm},
E = z_{0,95}\,\times \text{SE} = 1,645 \times 0,06939 \approx 0,1141\;\text{mm}.

Passo 5

Construir o intervalo de confiança:
\bar{x} \pm E = 25,4833 \pm 0,1141
\bigl[\,25,4833 - 0,1141,\;25,4833 + 0,1141\bigr] = [\,25,3692,\;25,5974\,]\;\text{mm}.

Resposta

O intervalo de confiança de 90\% para o diâmetro médio é aproximadamente
[\,25,37,\;25,60\,]\;\text{mm}.

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