1. A distribuição de uma peça produzida por uma certa máquina é normal de desvio padrão 0,17 \mathrm{~mm}. Uma amostra de 6 parafusos, retirada ao acaso da população, apresentou os seguintes diâmetros: 24,525,225,625,325,025,4. Construa o IC de 95 \% de confiança para o verdadeiro diâmetro média da produção dessa máquina.

Passo 1

O enunciado diz que as peças têm distribuição normal com desvio padrão populacional conhecido \sigma=0,17\\ \mathrm{mm}. Foi coletada uma amostra aleatória de n=6 diâmetros e queremos construir o intervalo de confiança de 95\% para a média verdadeira \mu. Como \sigma é conhecido, vamos usar a distribuição normal padrão.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar x. Os valores observados são
24{,}5,\;25{,}2,\;25{,}6,\;25{,}3,\;25{,}0,\;25{,}4.
A soma é 24{,}5+25{,}2+25{,}6+25{,}3+25{,}0+25{,}4=151{,}0, logo
\bar x=\frac{151{,}0}{6}\approx25{,}1667\\ \mathrm{mm}.

Passo 3

O intervalo de confiança de 100(1-\alpha)\% para \mu é dado por
\bar x \pm z_{1-\frac{\alpha}{2}}\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde para 95\% de confiança temos z_{1-\frac{\alpha}{2}}=z_{0,975}\approx1{,}96.

Passo 4

Calcular o erro-padrão e a margem de erro:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0,17}{\sqrt{6}}\approx0,0694,
E = 1{,}96\times0,0694\approx0,1360\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Portanto, o intervalo de confiança é
25{,}1667 \pm 0,1360
ou seja,
[25{,}1667 - 0{,}1360,\;25{,}1667 + 0{,}1360] =[25{,}0307,\;25{,}3027]\\ \mathrm{mm}.

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para a média do diâmetro é
[25{,}03,\;25{,}30]\\ \mathrm{mm}.

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