A distribuição de frequência das notas de uma turma na disciplina de Estatística é dada abaixo.
Notas Número de alunos
35 \mid-45 5
45 \mid-55 12
55 \mid-65 18
65 \mid-75 14
75 \mid-85 6
85 \mid-95 3
Total 58
Calcule o intervalo interquartil

Passo 1

O enunciado pede para calcular o intervalo interquartil (IQR) da distribuição de frequências das notas. Dados fornecidos (peguei os números do enunciado):
  • Classes e frequências:
    • \,35\mid-45:\; f_1=5
    • \,45\mid-55:\; f_2=12
    • \,55\mid-65:\; f_3=18
    • \,65\mid-75:\; f_4=14
    • \,75\mid-85:\; f_5=6
    • \,85\mid-95:\; f_6=3
  • Total de observações: \,n=58.
O que é pedido: calcular o intervalo interquartil \,IQR = Q_3 - Q_1, onde \,Q_1 é o primeiro quartil (25º percentil) e \,Q_3 é o terceiro quartil (75º percentil).

Passo 2

Organizar as frequências acumuladas para localizar em quais classes caem Q_1 e Q_3.
Calcular frequências acumuladas:
\begin{aligned} F_1 &= f_1 = 5,\\\ F_2 &= f_1+f_2 = 5+12 = 17,\\\ F_3 &= 17+18 = 35,\\\ F_4 &= 35+14 = 49,\\\ F_5 &= 49+6 = 55,\\\ F_6 &= 55+3 = 58. \end{aligned}
Posições teóricas dos quartis (em termos de ordem):
\frac{n}{4}=\frac{58}{4}=14{,}5,\qquad \frac{3n}{4}=\frac{3\cdot58}{4}=43{,}5.
Agora vemos em que classes esses valores caem:
  • 14{,}5 está na classe \,45\mid-55 (porque F_1=5<14{,}5\le F_2=17).
  • 43{,}5 está na classe \,65\mid-75 (porque F_3=35<43{,}5\le F_4=49).

Passo 3

Explicar o método de interpolação para dados agrupados (a forma que usaremos):
Para dados agrupados, estima-se o quartil dentro da classe que o contém por interpolação linear. A fórmula geral para o k-ésimo quartil ( k=1 para Q_1, k=3 para Q_3) é
Q_k = L + \left(\dfrac{\dfrac{k n}{4} - F_b}{f_i}\right)\,h,
onde:
  • L é o limite inferior da classe que contém o quartil (ou seja, a fronteira inferior dessa classe),
  • F_b é a frequência acumulada antes dessa classe (soma das frequências de todas as classes anteriores),
  • f_i é a frequência da classe que contém o quartil,
  • h é a amplitude (largura) da classe,
  • n é o total de observações.
Aqui todas as classes têm mesma amplitude h=10 (por exemplo 45-55 tem largura 10). Vou aplicar essa fórmula para Q_1 e Q_3.

Passo 4

Cálculo de \,Q_1.
Identificamos:
  • classe de Q_1: \,45\mid-55,
  • L=45,
  • F_b (acumulada antes dessa classe) =F_1=5,
  • f_i=f_2=12,
  • h=10,
  • posição desejada \dfrac{n}{4}=14{,}5.
Aplicando a fórmula:
\begin{aligned} Q_1 &= 45 + \left(\dfrac{14{,}5 - 5}{12}\right)\cdot 10\\[4pt] &= 45 + \left(\dfrac{9{,}5}{12}\right)\cdot 10\\[4pt] &= 45 + 0{,}791666\ldots \cdot 10\\[4pt] &= 45 + 7{,}916666\ldots\\[4pt] &\approx 52{,}916666\ldots \end{aligned}
Arredondando normalmente, \,Q_1\approx 52{,}92.]

Passo 5

Cálculo de \,Q_3.
Identificamos:
  • classe de Q_3: \,65\mid-75,
  • L=65,
  • F_b (acumulada antes dessa classe) =F_3=35,
  • f_i=f_4=14,
  • h=10,
  • posição desejada \dfrac{3n}{4}=43{,}5.
Aplicando a fórmula:
\begin{aligned} Q_3 &= 65 + \left(\dfrac{43{,}5 - 35}{14}\right)\cdot 10\\[4pt] &= 65 + \left(\dfrac{8{,}5}{14}\right)\cdot 10\\[4pt] &= 65 + 0{,}6071428\ldots \cdot 10\\[4pt] &= 65 + 6{,}071428\ldots\\[4pt] &\approx 71{,}071428\ldots \end{aligned}
Arredondando, \,Q_3\approx 71{,}07.]

Passo 6

Calcular o intervalo interquartil:
\begin{aligned} IQR &= Q_3 - Q_1\\[4pt] &\approx 71{,}071428\ldots - 52{,}916666\ldots\\[4pt] &\approx 18{,}1547619\ldots \end{aligned}
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em notas), obtemos \,IQR\approx 18{,}15.]

Resposta

IQR \approx 18{,}15

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