Uma pesquisa realizada pelo Departamento de Estatística, entre os servidores da UFV, indica que
colocam açúcar em seu café,
colocam leite e
acrescentam ambos. Suponha que um servidor seja escolhido aleatoriamente. Defina:
(a) Qual é a probabilidade de que o servidor use, pelo menos, um desses dois itens?
(b) Qual é a probabilidade de que o servidor não use nenhum dos dois?
(c) Qual é a probabilidade de que o servidor use apenas um dos dois itens?
(b) Qual é a probabilidade de que o servidor não use nenhum dos dois?
(c) Qual é a probabilidade de que o servidor use apenas um dos dois itens?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações sobre a pesquisa (tudo pegado do enunciado):
-
(ou seja, dos servidores adicionam açúcar). -
(ou seja, dos servidores adicionam leite). -
(ou seja, adicionam ambos açúcar e leite).
O que é pedido:
(a) A probabilidade de que o servidor use, pelo menos, um desses dois itens (açúcar ou leite).
(b) A probabilidade de que o servidor não use nenhum dos dois.
(c) A probabilidade de que o servidor use apenas um dos dois itens (isto é, açúcar ou leite, mas não ambos).
(a) A probabilidade de que o servidor use, pelo menos, um desses dois itens (açúcar ou leite).
(b) A probabilidade de que o servidor não use nenhum dos dois.
(c) A probabilidade de que o servidor use apenas um dos dois itens (isto é, açúcar ou leite, mas não ambos).
Passo 2
Vamos lembrar fórmulas e conceitos que vamos usar (explicando bem cada símbolo):
- A união
significa “o servidor usa açúcar ou leite (ou ambos)”. A fórmula de inclusão-exclusão para duas ocorrências é
Aqui:
-
é a probabilidade de que o servidor adicione açúcar. -
é a probabilidade de que o servidor adicione leite. -
é a probabilidade de que o servidor adicione ambos. -
O complementar: “não usar nenhum dos dois” é o complementar da união. Se
é um evento, seu complementar é e vale
No nosso caso, “não usar nenhum” é
, então
- “Usar apenas um dos dois” significa que o evento ocorre quando exatamente um dos eventos
ou ocorre. Existem duas formas equivalentes de calcular: - Direto: soma das probabilidades de
e excluindo a interseção dupla:
A ideia: conta duas vezes quem usa ambos, então subtrai-se para ficar só com quem usa exatamente um.
2. Usando união e interseção:Essa segunda vem do fato de que a união é a soma de “apenas um” mais “ambos”. - Direto: soma das probabilidades de
Vou usar essas fórmulas com os números dados.
Passo 3
Calcular (a)
usando inclusão-exclusão. Substituindo os valores dados:
Agora somar e subtrair passo a passo:
Portanto
, isto é,
dos servidores usam pelo menos um dos itens.
Passo 4
Calcular (b) probabilidade de não usar nenhum dos dois. É o complementar da união:
Já encontramos
, então
Ou seja,
não usam nem açúcar nem leite.
Passo 5
Calcular (c) probabilidade de usar apenas um dos dois. Vou usar a fórmula direta (mas ambas dão o mesmo resultado):
Substituindo:
Calcule passo a passo:
Também podemos checar com a outra forma:
— bate certinho. Então
usam exatamente um dos dois itens.
Passo 6
Pequena verificação de consistência (serve para não errar na prova): as probabilidades obtidas são todas entre 0 e 1 e as partes somam coerentemente:
-
. Ótimo — cobre todas as possibilidades mutuamente exclusivas (exatamente um, ambos, nenhum).
Se quiser decorar: para dois eventos o diagrama de Venn tem 4 regiões, e a soma das probabilidades dessas 4 regiões é 1. Aqui os valores dessas regiões ficaram
(apenas um),
(ambos) e
(nenhum), totalizando 1.
Resposta
(a)
(b)
(c)