Uma pesquisa realizada pelo Departamento de Estatística, entre os servidores da UFV, indica que 70 \% colocam açúcar em seu café, 35 \% colocam leite e 25 \% acrescentam ambos. Suponha que um servidor seja escolhido aleatoriamente. Defina:
\begin{aligned} A & =\mathrm{O} \text { servidor adiciona açúcar } \\\ L & =\mathrm{O} \text { servidor adiciona leite } \end{aligned}çú
(a) Qual é a probabilidade de que o servidor use, pelo menos, um desses dois itens?
(b) Qual é a probabilidade de que o servidor não use nenhum dos dois?
(c) Qual é a probabilidade de que o servidor use apenas um dos dois itens?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações sobre a pesquisa (tudo pegado do enunciado):
  • P(A)=0,70 (ou seja, 70\% dos servidores adicionam açúcar).
  • P(L)=0,35 (ou seja, 35\% dos servidores adicionam leite).
  • P(A\cap L)=0,25 (ou seja, 25\% adicionam ambos açúcar e leite).
O que é pedido:
(a) A probabilidade de que o servidor use, pelo menos, um desses dois itens (açúcar ou leite).
(b) A probabilidade de que o servidor não use nenhum dos dois.
(c) A probabilidade de que o servidor use apenas um dos dois itens (isto é, açúcar ou leite, mas não ambos).

Passo 2

Vamos lembrar fórmulas e conceitos que vamos usar (explicando bem cada símbolo):
  • A união A\cup L significa “o servidor usa açúcar ou leite (ou ambos)”. A fórmula de inclusão-exclusão para duas ocorrências é
P(A\cup L)=P(A)+P(L)-P(A\cap L).
Aqui:
  • P(A) é a probabilidade de que o servidor adicione açúcar.
  • P(L) é a probabilidade de que o servidor adicione leite.
  • P(A\cap L) é a probabilidade de que o servidor adicione ambos.
  • O complementar: “não usar nenhum dos dois” é o complementar da união. Se E é um evento, seu complementar é E^{c} e vale
P(E^{c})=1-P(E).
No nosso caso, “não usar nenhum” é (A\cup L)^{c}, então
P(\text{nenhum})=1-P(A\cup L).
  • “Usar apenas um dos dois” significa que o evento ocorre quando exatamente um dos eventos A ou L ocorre. Existem duas formas equivalentes de calcular:
    1. Direto: soma das probabilidades de A e L excluindo a interseção dupla:
    P(\text{apenas um})=P(A)+P(L)-2P(A\cap L).A ideia: P(A)+P(L) conta duas vezes quem usa ambos, então subtrai-se 2P(A\cap L) para ficar só com quem usa exatamente um.
    2. Usando união e interseção: P(\text{apenas um})=P(A\cup L)-P(A\cap L).Essa segunda vem do fato de que a união é a soma de “apenas um” mais “ambos”.
Vou usar essas fórmulas com os números dados.

Passo 3

Calcular (a) P(A\cup L) usando inclusão-exclusão. Substituindo os valores dados:
P(A\cup L)=P(A)+P(L)-P(A\cap L)=0,70+0,35-0,25.
Agora somar e subtrair passo a passo:
0,70+0,35=1,05,
1,05-0,25=0,80.
Portanto P(A\cup L)=0,80, isto é, 80\% dos servidores usam pelo menos um dos itens.

Passo 4

Calcular (b) probabilidade de não usar nenhum dos dois. É o complementar da união:
P(\text{nenhum})=1-P(A\cup L).
Já encontramos P(A\cup L)=0,80, então
P(\text{nenhum})=1-0,80=0,20.
Ou seja, 20\% não usam nem açúcar nem leite.

Passo 5

Calcular (c) probabilidade de usar apenas um dos dois. Vou usar a fórmula direta (mas ambas dão o mesmo resultado):
P(\text{apenas um})=P(A)+P(L)-2P(A\cap L).
Substituindo:
P(\text{apenas um})=0,70+0,35-2\cdot0,25.
Calcule passo a passo:
0,70+0,35=1,05,
2\cdot0,25=0,50,
1,05-0,50=0,55.
Também podemos checar com a outra forma: P(A\cup L)-P(A\cap L)=0,80-0,25=0,55 — bate certinho. Então 55\% usam exatamente um dos dois itens.

Passo 6

Pequena verificação de consistência (serve para não errar na prova): as probabilidades obtidas são todas entre 0 e 1 e as partes somam coerentemente:
  • P(\text{apenas um})+P(A\cap L)+P(\text{nenhum}) = 0,55+0,25+0,20=1,00. Ótimo — cobre todas as possibilidades mutuamente exclusivas (exatamente um, ambos, nenhum).
Se quiser decorar: para dois eventos o diagrama de Venn tem 4 regiões, e a soma das probabilidades dessas 4 regiões é 1. Aqui os valores dessas regiões ficaram 0,55 (apenas um), 0,25 (ambos) e 0,20 (nenhum), totalizando 1.

Resposta

(a) P(A\cup L)=0,80
(b) P(\text{nenhum})=0,20
(c) P(\text{apenas um})=0,55

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