A distribuição de frequência das notas de uma turma na disciplina de Estatística é dada abaixo.
Notas Número de alunos
35 \mid-45 5
45 \mid-55 12
55 \mid-65 18
65 \mid-75 14
75 \mid-85 6
85 \mid-95 3
Total 58
Calcule o desvio-padrão

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei da tabela): intervalos de notas e número de alunos (frequências):
    • [35\mid 45): f_1=5
    • [45\mid 55): f_2=12
    • [55\mid 65): f_3=18
    • [65\mid 75): f_4=14
    • [75\mid 85): f_5=6
    • [85\mid 95): f_6=3
  • Total de alunos: N=58 (confirmei somando as frequências).
  • O enunciado pede: calcular o desvio-padrão. Como temos a turma inteira (todas as 58 observações), vou calcular o desvio-padrão populacional \sigma. Se fosse pedido o desvio amostral, usar-se-ia fórmula com N-1 no denominador — aqui uso o denominador N.

Passo 2

Como trabalhar com classes: usar os pontos médios.
  • Para dados agrupados em classes usamos o ponto médio de cada classe como valor representante. O ponto médio da classe é a média aritmética dos extremos.
  • Calculo dos pontos médios x_i:
    • x_1=\dfrac{35+45}{2}=40
    • x_2=\dfrac{45+55}{2}=50
    • x_3=\dfrac{55+65}{2}=60
    • x_4=\dfrac{65+75}{2}=70
    • x_5=\dfrac{75+85}{2}=80
    • x_6=\dfrac{85+95}{2}=90

Passo 3

Fórmulas que vamos usar e significado das variáveis.
  • f_i é a frequência da i-ésima classe.
  • x_i é o ponto médio da i-ésima classe.
  • N=\sum_{i=1}^{6} f_i é o total de observações.
  • Média (populacional) para dados agrupados: \bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{6} f_i x_i}{N}.Aqui \bar{x} é a média aritmética dos valores representativos ponderada pelas frequências.
  • Variância populacional para dados agrupados (fórmula conveniente): \sigma^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{6} f_i x_i^{2}}{N}-\bar{x}^{2}.Essa é a forma abreviada (menor trabalho): primeiro calcula-se a média dos quadrados e subtrai-se o quadrado da média.
  • Desvio-padrão: \sigma=\sqrt{\sigma^{2}}.

Passo 4

Calcular \sum f_i x_i (para a média).
  • Produtos f_i x_i:
    • 5\cdot 40 = 200
    • 12\cdot 50 = 600
    • 18\cdot 60 = 1080
    • 14\cdot 70 = 980
    • 6\cdot 80 = 480
    • 3\cdot 90 = 270
  • Soma: \sum_{i=1}^{6} f_i x_i = 200+600+1080+980+480+270 = 3610.
  • Média: \bar{x}=\frac{3610}{58}=\frac{1805}{29}\approx 62,24137931.

Passo 5

Calcular \sum f_i x_i^{2} (para a média dos quadrados).
  • Primeiro x_i^2 e então f_i x_i^2:
    • 40^{2}=1600,\quad 5\cdot1600=8000
    • 50^{2}=2500,\quad 12\cdot2500=30000
    • 60^{2}=3600,\quad 18\cdot3600=64800
    • 70^{2}=4900,\quad 14\cdot4900=68600
    • 80^{2}=6400,\quad 6\cdot6400=38400
    • 90^{2}=8100,\quad 3\cdot8100=24300
  • Soma: \sum_{i=1}^{6} f_i x_i^{2} = 8000+30000+64800+68600+38400+24300 = 234100.

Passo 6

Calcular a variância populacional \sigma^{2} usando a fórmula abreviada.
  • Média dos quadrados: \frac{\sum f_i x_i^{2}}{N}=\frac{234100}{58}\approx 4036,20689655.
  • Já temos \bar{x}^{2}=\left(\frac{3610}{58}\right)^{2}=\left(\frac{1805}{29}\right)^{2}=\frac{3258025}{841}\approx 3873,989292.
  • Portanto a variância: \sigma^{2}=\frac{234100}{58}-\left(\frac{3610}{58}\right)^{2}\approx 4036,20689655-3873,989292\approx 162,217605.

Passo 7

Calcular o desvio-padrão \sigma.
  • Tirando a raiz quadrada da variância: \sigma=\sqrt{\sigma^{2}}\approx \sqrt{162,217605}\approx 12,74.
  • Interpretação rápida: isso significa que, em média, as notas desviam-se da média cerca de 12,74 pontos (usando os pontos médios das classes como representantes).

Resposta

\sigma \approx 12,74

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