A distribuição de frequência das notas de uma turma na disciplina de Estatística é dada abaixo.
Notas Número de alunos
35 \mid-45 5
45 \mid-55 12
55 \mid-65 18
65 \mid-75 14
75 \mid-85 6
85 \mid-95 3
Total 58
Calcule a variância

Passo 1

O enunciado pede: calcular a variância da distribuição de frequências das notas. Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
  • Intervalos de classe e números de alunos (frequências):
    • [35\mid 45): f_1=5
    • [45\mid 55): f_2=12
    • [55\mid 65): f_3=18
    • [65\mid 75): f_4=14
    • [75\mid 85): f_5=6
    • [85\mid 95): f_6=3
  • Total de alunos: N=58.
O que será feito: transformar as classes em pontos representativos (pontos médios), calcular a média das notas usando as frequências, e então calcular a variância usando a fórmula para distribuição agrupada.

Passo 2

Definir os pontos médios das classes (cada ponto médio será a representação das notas daquela classe). Explico: o ponto médio de um intervalo [a\mid b) é \dfrac{a+b}{2}; ele representa a nota típica dentro da classe quando só se conhece a frequência por classe.
  • \,x_1=\dfrac{35+45}{2}=40
  • \,x_2=\dfrac{45+55}{2}=50
  • \,x_3=\dfrac{55+65}{2}=60
  • \,x_4=\dfrac{65+75}{2}=70
  • \,x_5=\dfrac{75+85}{2}=80
  • \,x_6=\dfrac{85+95}{2}=90

Passo 3

Calcular a soma ponderada \sum f_i x_i e a média \bar{x}. Explico a fórmula: a média amostral (aqui populacional) para dados agrupados é
\bar{x}=\frac{\sum_{i} f_i x_i}{N},
onde f_i é a frequência da classe i, x_i é o ponto médio da classe i e N=\sum_i f_i é o total.
Calcular cada termo f_i x_i:
\begin{aligned} f_1 x_1 &= 5\cdot 40 = 200,\\\ f_2 x_2 &= 12\cdot 50 = 600,\\\ f_3 x_3 &= 18\cdot 60 = 1080,\\\ f_4 x_4 &= 14\cdot 70 = 980,\\\ f_5 x_5 &= 6\cdot 80 = 480,\\\ f_6 x_6 &= 3\cdot 90 = 270. \end{aligned}
Somando:
\sum_i f_i x_i = 200+600+1080+980+480+270 = 3610.
Portanto a média é
\bar{x}=\frac{3610}{58}=\frac{1805}{29}\approx 62{,}241379\ldots

Passo 4

Calcular \sum f_i x_i^2. Explico: será necessário para a fórmula computacional da variância; aqui x_i^2 é o quadrado do ponto médio e multiplicamos por f_i.
Calcular cada termo f_i x_i^2:
\begin{aligned} f_1 x_1^2 &= 5\cdot 40^2 = 5\cdot 1600 = 8000,\\\ f_2 x_2^2 &= 12\cdot 50^2 = 12\cdot 2500 = 30000,\\\ f_3 x_3^2 &= 18\cdot 60^2 = 18\cdot 3600 = 64800,\\\ f_4 x_4^2 &= 14\cdot 70^2 = 14\cdot 4900 = 68600,\\\ f_5 x_5^2 &= 6\cdot 80^2 = 6\cdot 6400 = 38400,\\\ f_6 x_6^2 &= 3\cdot 90^2 = 3\cdot 8100 = 24300. \end{aligned}
Somando:
\sum_i f_i x_i^2 = 8000+30000+64800+68600+38400+24300 = 234100.

Passo 5

Apresentar a fórmula usada para a variância (fórmula computacional para dados agrupados) e explicar as variáveis. Para a variância populacional usamos
\mathrm{Var}=\frac{\sum_i f_i x_i^2}{N}-\bar{x}^{2},
onde:
  • \sum_i f_i x_i^2 é a soma dos quadrados dos pontos médios ponderados por suas frequências,
  • N é o total de observações,
  • \bar{x} é a média calculada no Passo 3.
Motivo de usar essa fórmula: evita calcular individualmente cada (x_i-\bar{x})^2 e somar multiplicado por f_i; é a mesma variância, mas computacionalmente mais simples.

Passo 6

Substituir os valores e calcular a variância. Primeiro calcule \dfrac{\sum_i f_i x_i^2}{N}:
\frac{\sum_i f_i x_i^2}{N}=\frac{234100}{58}=\frac{117050}{29}.
\bar{x}^2=\left(\frac{1805}{29}\right)^2=\frac{3258025}{841}.
Agora a variância:
\mathrm{Var}=\frac{117050}{29}-\frac{3258025}{841}.
Colocando em denominador comum 841=29^2:
\mathrm{Var}=\frac{117050\cdot 29 - 3258025}{841}=\frac{3394450-3258025}{841}=\frac{136425}{841}.
Como número decimal,
\mathrm{Var}=\frac{136425}{841}\approx 162{,}217856\ldots

Resposta

\mathrm{Var}=\dfrac{136425}{841}\approx 162{,}218

Exercícios relacionados