A distribuição de frequência das notas de uma turma na disciplina de Estatística é dada abaixo.
Notas Número de alunos
35 \mid-45 5
45 \mid-55 12
55 \mid-65 18
65 \mid-75 14
75 \mid-85 6
85 \mid-95 3
Total 58
Calcule o desvio-médio, sabendo que esta medida é calculada como
d m=\frac{\sum_{i=1}^{k} f_{i}\left|x_{i}-\bar{x}\right|}{\sum_{i=1}^{k} f_{i}}

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de frequências das notas em classes e pede para calcular o desvio-médio definido por
d m=\frac{\sum_{i=1}^{k} f_{i}\left|x_{i}-\bar{x}\right|}{\sum_{i=1}^{k} f_{i}}.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
  • Classes e frequências:
    • \,35\mid-45: f_1=5
    • \,45\mid-55: f_2=12
    • \,55\mid-65: f_3=18
    • \,65\mid-75: f_4=14
    • \,75\mid-85: f_5=6
    • \,85\mid-95: f_6=3
  • Total de observações: \sum_{i=1}^{6} f_i = 58.
O que é pedido:
  • Calcular d m usando a fórmula acima. Para dados em classes, será necessário usar a marca de classe x_i (ponto médio de cada intervalo) e calcular a média \bar{x} antes de calcular os desvios absolutos.

Passo 2

Transformar as classes em marcas de classe (pontos médios). A marca de classe x_i é dada por
x_i=\frac{L_i+U_i}{2},
onde L_i e U_i são os limites inferior e superior da i-ésima classe. Calculando:
x_1=\frac{35+45}{2}=40,\quad x_2=\frac{45+55}{2}=50,\quad x_3=\frac{55+65}{2}=60,
x_4=\frac{65+75}{2}=70,\quad x_5=\frac{75+85}{2}=80,\quad x_6=\frac{85+95}{2}=90.

Passo 3

Calcular a média amostral \bar{x} para dados agrupados usando
\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{k} f_i}.
Aqui f_i é a frequência da i-ésima classe e x_i a marca de classe. Calculemos os produtos f_i x_i:
5\cdot40=200,\quad 12\cdot50=600,\quad 18\cdot60=1080,
14\cdot70=980,\quad 6\cdot80=480,\quad 3\cdot90=270.
Somando:
\sum_{i=1}^{6} f_i x_i =200+600+1080+980+480+270=3610.
Portanto
\bar{x}=\frac{3610}{58}=\frac{1805}{29}\approx 62,241379.
(Expliquei: \sum f_i x_i é a soma ponderada das marcas; dividir por \sum f_i dá a média.)

Passo 4

Explicar como calcular \sum f_i|x_i-\bar{x}| de forma exata e depois numérica. Para evitar muitos decimais intermediários, observe que \bar{x}=\dfrac{1805}{29}. Então
|x_i-\bar{x}|=\left|x_i-\frac{1805}{29}\right|=\frac{\left|29x_i-1805\right|}{29}.
Multiplicando por f_i e somando:
\sum_{i=1}^{6} f_i|x_i-\bar{x}|=\frac{1}{29}\sum_{i=1}^{6} f_i\left|29x_i-1805\right|.
Assim basta calcular os inteiros 29x_i e as diferenças absolutas |29x_i-1805|, que são números inteiros, e depois somar ponderados.

Passo 5

Calcular os termos inteiros e os produtos f_i\left|29x_i-1805\right|:
29x_1=29\cdot40=1160,\quad |1160-1805|=645,\quad f_1\cdot645=5\cdot645=3225.
29x_2=29\cdot50=1450,\quad |1450-1805|=355,\quad f_2\cdot355=12\cdot355=4260.
29x_3=29\cdot60=1740,\quad |1740-1805|=65,\quad f_3\cdot65=18\cdot65=1170.
29x_4=29\cdot70=2030,\quad |2030-1805|=225,\quad f_4\cdot225=14\cdot225=3150.
29x_5=29\cdot80=2320,\quad |2320-1805|=515,\quad f_5\cdot515=6\cdot515=3090.
29x_6=29\cdot90=2610,\quad |2610-1805|=805,\quad f_6\cdot805=3\cdot805=2415.
Somando esses produtos:
\sum_{i=1}^{6} f_i\left|29x_i-1805\right|=3225+4260+1170+3150+3090+2415=17310.
Portanto, usando a relação do Passo 4,
\sum_{i=1}^{6} f_i|x_i-\bar{x}|=\frac{17310}{29}.

Passo 6

Agora aplicar a definição do desvio-médio:
d m=\frac{\sum_{i=1}^{6} f_i|x_i-\bar{x}|}{\sum_{i=1}^{6} f_i} =\frac{\dfrac{17310}{29}}{58} =\frac{17310}{29\cdot58} =\frac{8655}{841}.
Em forma decimal:
d m=\frac{8655}{841}\approx 10,291318.
(Interpretação: em média, a nota dista cerca de 10,29 pontos da média aritmética.)

Resposta

d m=\dfrac{8655}{841}\approx 10,291

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