Qual a distribuição para as frequências ressonantes de um tubo fechado em ambas as extremidades?

Passo 1

O enunciado pede as frequências ressonantes de um tubo de comprimento L com ambas as extremidades fechadas. O conteúdo aqui é ondulatória em tubos acústicos: aplicamos as condições de contorno para ondas estacionárias e quantizamos o comprimento de onda.

Passo 2

Em cada extremidade fechada o deslocamento do ar deve ser nulo (nó de deslocamento), e o tubo admite ondas estacionárias cuja distância entre dois nós consecutivos vale \tfrac{\lambda}{2}. Portanto, o comprimento do tubo deve acomodar um número inteiro de semi-comprimentos de onda:
L = n\,\frac{\lambda_n}{2},
com n=1,2,3,\dots.

Passo 3

Da relação acima isolamos o comprimento de onda de cada modo n:
\lambda_n = \frac{2L}{n}.

Passo 4

A frequência correspondente a cada modo é dada por
f_n = \frac{v}{\lambda_n},
onde v é a velocidade do som no meio. Substituindo \lambda_n:
f_n = \frac{v}{2L}\,n,\quad n=1,2,3,\dots

Resposta

f_n = \frac{n\,v}{2L},\quad n=1,2,3,\dots

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