A distribuição de frequências do tempo necessário (em segundos) para se realizar certa operação industrial, de uma amostra de 40 funcionários é apresentada.
Intervalo de classes
(segundos)
f_{i}
31 \mid---35 3
35 \mid---39 6
39 \mid---43 5
43 \mid---47 12
47 \mid---51 5
51 \mid---55 2
55|---| 59 7
TOTAL 40
Calcular:
a) Média, mediana e moda;
b) Q1, Q2 e Q3 e interpretar;
c) variância, desvio padrão e coeficiente de variação e interpretar o resultado;
d) coeficiente do momento de assimetria e interpretar o resultado.

Passo 1

O enunciado fornece uma distribuição de frequências agrupadas em 7 classes de mesma amplitude h=4 segundos, totalizando n=40 observações. Vamos calcular medidas de posição (média, mediana, moda), quartis, medidas de dispersão (variância, desvio-padrão, coeficiente de variação) e o coeficiente de assimetria. Para isso, iremos usar os pontos médios de cada classe, as frequências acumuladas e as fórmulas clássicas de estatística descritiva para dados agrupados.

Passo 2

Cálculo da média amostral \bar x usando pontos médios m_i:
m_i=\{33,37,41,45,49,53,57\},\quad f_i=\{3,6,5,12,5,2,7\}.
Compute
\sum f_i m_i =1816
e
\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^7 f_i m_i = \frac{1816}{40} = 45,4.

Passo 3

(a) Mediana: posição n/2=20⁻ª observação. A frequência acumulada até a 3.ª classe é 14 e até a 4.ª é 26, logo a mediana está na classe [43,47) com l=43, F_{<}=14, f_{\text{med}}=12.
\text{Mediana} = l + \frac{\frac n2 - F_{<}}{f_{\text{med}}}\,h = 43 + \frac{20-14}{12}\cdot4 = 43 + 2 = 45.
(b) Moda: classe modal é também [43,47) pois tem f=12. Com f_0=5 (classe anterior) e f_2=5 (classe seguinte),
\text{Moda} = l + \frac{f_1 - f_0}{2f_1 -f_0 -f_2}\,h = 43 + \frac{12-5}{2\cdot12-5-5}\cdot4 = 43 + \frac{7}{14}\cdot4 = 45.

Passo 4

Quartis usando posição nQ_j:
  • Q_1: posição 0{,}25n=10. A 2.ª classe acumula 9 e a 3.ª atinge 14, logo Q_1 em [39,43) com l=39, F_{<}=9, f=5.
Q_1=39 + \frac{10-9}{5}\cdot4 =39 +0{,}8 =39{,}8.
  • Q_2 é a mediana já calculada: Q_2=45.
  • Q_3: posição 0{,}75n=30. A 4.ª classe acumula 26 e a 5.ª atinge 31, logo Q_3 em [47,51) com l=47, F_{<}=26, f=5.
Q_3=47 + \frac{30-26}{5}\cdot4 =47 +3{,}2 =50{,}2.
Interpretação: 25% dos tempos são <=39,8 s; 50% <=45 s; 75% <=50,2 s.

Passo 5

Variância amostral s^2 e desvio-padrão s:
\sum f_i m_i^2 =84552,\quad \bar x^2=45{,}4^2=2061{,}16.
s^2 = \frac{\sum f_i m_i^2 - n\,\bar x^2}{n-1} = \frac{84552 - 40\cdot2061{,}16}{39} = \frac{2105{,}6}{39}\approx54{,}00,
s=\sqrt{s^2}\approx7{,}35.
Coeficiente de variação:
\mathrm{CV}=\frac{s}{\bar x}\times100\%\approx\frac{7{,}35}{45{,}4}\times100\%\approx16{,}2\%\!.
Interpretação: dispersão moderada em relação à média.

Passo 6

Coeficiente de assimetria pelo método de Pearson (moda \approx45):
\gamma_1 = \frac{3(\bar x - \text{Moda})}{s} = \frac{3(45{,}4-45)}{7{,}35}\approx0{,}16.
Como \gamma_1>0, a distribuição apresenta assimetria à direita (cauda mais longa para valores maiores).

Resposta

a) \bar x =45{,}4, Mediana =45, Moda =45.
b) Q_1=39{,}8, Q_2=45, Q_3=50{,}2.
c) s^2\approx54{,}00, s\approx7{,}35, \mathrm{CV}\approx16{,}2\%.
d) \gamma_1\approx0{,}16 (assimetria positiva, cauda à direita).

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