Para a distribuição \mathrm{N}(25,20), calcule:
P(X<10)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular P(X<10) para uma variável aleatória X que segue a distribuição normal indicada.
Informações dadas (assumindo a notação padrão \mathrm{N}(\mu,\sigma^{2})):
  • \mu = 25 (média),
  • \sigma^{2} = 20 (variância).
    Portanto precisamos achar a probabilidade de X ser menor que 10 usando esses dados.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): para uma normal qualquer usamos padronização para transformar X numa normal padrão Z com média 0 e variância 1. A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde \mu é a média e \sigma é o desvio padrão (raiz da variância). Assim
P(X<10)=P\!\left(Z<\frac{10-\mu}{\sigma}\right).
Vou explicar cada parte enquanto aplico.

Passo 3

Calcular o desvio padrão \sigma. A partir de \sigma^{2}=20 temos
\sigma=\sqrt{20}.
Vamos deixar a raiz explícita e depois aproximar numericamente:
\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}\approx 4,4721.
Aqui \sigma é a escala da distribuição: quanto maior \sigma, mais espalhada.

Passo 4

Calcular o valor padronizado (o z correspondente a x=10):
z=\frac{10-\mu}{\sigma}=\frac{10-25}{\sqrt{20}}=\frac{-15}{\sqrt{20}}.
Aproximando numericamente:
z\approx\frac{-15}{4,4721}\approx -3,3541.
Esse número diz quantos desvios padrão abaixo da média está o valor 10. Como é muito negativo, esperamos uma probabilidade muito pequena.

Passo 5

Converter para probabilidade usando a normal padrão. Denotando por \Phi a função de distribuição acumulada da normal padrão:
P(X<10)=P\!\left(Z< -3,3541\right)=\Phi(-3,3541).
Usando a simetria da normal: \Phi(-a)=1-\Phi(a). Então
\Phi(-3,3541)=1-\Phi(3,3541).
Consultando tabela da normal padrão ou calculadora para \Phi(3,3541) obtemos aproximadamente 0,999604. Portanto
\Phi(-3,3541)\approx 1-0,999604=0,000396.

Passo 6

Interpretação final: a probabilidade é muito pequena (cerca de 3,96\times10^{-4}), ou seja, é quase zero que X seja menor que 10 dado que a média é 25 e o desvio padrão é cerca de 4,47.

Resposta

0,000396

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