Para a distribuição \mathrm{N}(25,20), calcule:
P(X>10)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.\n
  • Pede: calcular P(X>10).\n
  • Foi dado: X\sim \mathrm{N}(25,20).\n
  • Informação relevante extraída do enunciado: a distribuição é normal com dois parâmetros escritos 25 e 20. Não há outras informações na figura que alterem esses números. Não tenho nada além disso.\n

Passo 2

Interpretação dos parâmetros (por que escolhi esse entendimento).\n
  • A notação \mathrm{N}(\mu,\sigma^2) é a forma padrão em estatística, onde o primeiro parâmetro é a média \mu e o segundo é a variância \sigma^2. Por isso vou interpretar 25 como a média \mu e 20 como a variância \sigma^2.\n
  • Se alguém usasse \mathrm{N}(\mu,\sigma) (com \sigma em vez de \sigma^2) isso deveria ser dito explicitamente; como não foi, sigo a convenção comum.\n

Passo 3

Definir o desvio padrão e explicar o que isso significa.\n
  • A média é \mu=25.\n
  • A variância é \sigma^2=20. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância: \sigma=\sqrt{20}.\n
  • Calculemos \sigma: \displaystyle \sigma=\sqrt{20}\approx 4,4721. Aqui \sigma mede a dispersão típica em torno da média: valores a aproximadamente 1 desvio padrão ( \pm 4,4721) da média são comuns, valores a 3 desvios padrão são raros.\n

Passo 4

Como transformar o problema num que usamos tabela/calculadora: padronização.\n
  • Para uma normal qualquer X\sim\mathrm{N}(\mu,\sigma^2) usamos a padronização para transformar em Z\sim\mathrm{N}(0,1): \displaystyle Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.\n
  • Então\n \frac{10-25}{\sqrt{20}}=\frac{-15}{\sqrt{20}}=\frac{-15}{4,4721}\approx -3,3541.\n
  • Portanto \displaystyle P(X>10)=1-P(X\le 10)=1-\Phi\!\left(\frac{10-25}{\sqrt{20}}\right)=1-\Phi(-3,3541), onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão (ou seja, \Phi(z)=P(Z\le z)).\n

Passo 5

Usar a simetria da normal para simplificar a leitura da tabela/CDF.\n
  • Para a normal padrão vale a simetria \Phi(-z)=1-\Phi(z). Usando isso,\n 1-\Phi(-3,3541)=\Phi(3,3541).\n
  • Assim P(X>10)=\Phi(3,3541). Em palavras: a probabilidade de X ser maior que 10 é a mesma que a probabilidade de Z ser menor que 3,3541 (porque 10 está muito à esquerda da média 25).\n

Passo 6

Obter o valor numérico (tabela ou calculadora) e interpretação.\n
  • Procurando em tabela da normal padrão ou usando calculadora: \Phi(3,3541) é aproximadamente 0,9996 (mais precisamente cerca de 0,99961, dependendo de quantas casas usar).\n
  • Interpretação intuitiva: isso faz sentido — 10 está mais de 3 desvios padrão abaixo da média 25, então é muito improvável cair à esquerda de 10; a probabilidade de estar à direita de 10 é quase 100\%.\n

Resposta

0,9996

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