Uma partícula segue uma trajetória dada em função do tempo pelo vetor posição
Uma das forças que atuam sobre a particula é dada por:
a) Determine a função potência
;
b) Determine o trabalho realizado por esta força no intervalo de tempo de
até
.
a) Determine a função potência
b) Determine o trabalho realizado por esta força no intervalo de tempo de
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move seguindo a trajetória descrita pela função posição $ r = 2\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 3t^{2}\mathbf{j} $. Além disso, uma das forças que atua sobre essa partícula é $ \mathbf{F} = 2\mathbf{i} + 1,5\mathbf{j} $. Nosso objetivo aqui é resolver duas partes:
a) Encontrar a função potência $ P(t) $.
b) Calcular o trabalho realizado por essa força no intervalo de tempo de $ t = 0 $ até $ t = 2 $ segundos.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, principalmente noções de derivadas para encontrar a velocidade e integrar para achar o trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função posição da partícula:
Aqui, $ \mathbf{i} $ e $ \mathbf{j} $ são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente. Isso significa que a posição da partícula no tempo $ t $ é dada por:
- Componente x: $ x(t) = 2 $
- Componente y: $ y(t) = 1 + 3t^{2} $
Passo 3
Para encontrar a potência, precisamos primeiro determinar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Vamos calcular isso:
- Derivada de $ x(t) = 2 $ é $ \frac{dx}{dt} = 0 $
- Derivada de $ y(t) = 1 + 3t^{2} $ é $ \frac{dy}{dt} = 6t $
Portanto, a velocidade é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a potência. A potência $ P(t) $ é o produto escalar entre a força $ \mathbf{F} $ e a velocidade $ \mathbf{v}(t) $:
Dada a força $ \mathbf{F} = 2\mathbf{i} + 1,5\mathbf{j} $, temos:
Passo 5
Para encontrar o trabalho realizado pela força no intervalo de $ t = 0 $ até $ t = 2 $ segundos, usamos a definição de trabalho como a integral da potência em relação ao tempo:
Vamos resolver essa integral:
Resposta
a) A função potência é $ P(t) = 9t $ watts.
b) O trabalho realizado pela força no intervalo de $ t = 0 $ até $ t = 2 $ segundos é 18 joules.