Uma partícula segue uma trajetória dada em função do tempo pelo vetor posição r=2+i+3 t^2 j(s 1) Uma das forças que atuam sobre a particula é dada por: F=2 i+1,5 j
a) Determine a função potência P(t);
b) Determine o trabalho realizado por esta força no intervalo de tempo de t=0 até t=2 s.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move seguindo a trajetória descrita pela função posição $ r = 2\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 3t^{2}\mathbf{j} $. Além disso, uma das forças que atua sobre essa partícula é $ \mathbf{F} = 2\mathbf{i} + 1,5\mathbf{j} $. Nosso objetivo aqui é resolver duas partes:
a) Encontrar a função potência $ P(t) $.
b) Calcular o trabalho realizado por essa força no intervalo de tempo de $ t = 0 $ até $ t = 2 $ segundos.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, principalmente noções de derivadas para encontrar a velocidade e integrar para achar o trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função posição da partícula:
r(t) = 2i + 1j + 3t^2j
Aqui, $ \mathbf{i} $ e $ \mathbf{j} $ são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente. Isso significa que a posição da partícula no tempo $ t $ é dada por:
  • Componente x: $ x(t) = 2 $
  • Componente y: $ y(t) = 1 + 3t^{2} $

Passo 3

Para encontrar a potência, precisamos primeiro determinar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t) = dr(t)dt
Vamos calcular isso:
  • Derivada de $ x(t) = 2 $ é $ \frac{dx}{dt} = 0 $
  • Derivada de $ y(t) = 1 + 3t^{2} $ é $ \frac{dy}{dt} = 6t $
Portanto, a velocidade é:
x(t) = 2

Passo 4

Agora, vamos calcular a potência. A potência $ P(t) $ é o produto escalar entre a força $ \mathbf{F} $ e a velocidade $ \mathbf{v}(t) $:
P(t)
Dada a força $ \mathbf{F} = 2\mathbf{i} + 1,5\mathbf{j} $, temos:
F

Passo 5

Para encontrar o trabalho realizado pela força no intervalo de $ t = 0 $ até $ t = 2 $ segundos, usamos a definição de trabalho como a integral da potência em relação ao tempo:
t = 0
Vamos resolver essa integral:
t = 2

Resposta

a) A função potência é $ P(t) = 9t $ watts.
b) O trabalho realizado pela força no intervalo de $ t = 0 $ até $ t = 2 $ segundos é 18 joules.

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