Seja
uma amostra de uma população:
.
Encontre o limite inferior da variância dos estimadores não-viciados de
;
Encontre o limite inferior da variância dos estimadores não-viciados de
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma amostra
de uma população definida pela distribuição exponencial
para
e
. O objetivo é encontrar o limite inferior da variância dos estimadores não-viciados de
.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de estatística, especialmente o Teorema de Cramér-Rao, que nos dá esse limite inferior para a variância de estimadores não-viciados. Basicamente, esse teorema nos ajuda a saber o quão bom um estimador pode ser em termos de variância.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um estimador não-viciado. Um estimador
é dito não-viciado para
se o valor esperado de
for igual a
, ou seja,
.
Agora, para encontrar o limite inferior da variância desses estimadores, usamos o Teorema de Cramér-Rao. Esse teorema nos diz que:
Onde
é a Informação de Fisher.
Passo 3
Vamos calcular a Informação de Fisher para a nossa distribuição. A Informação de Fisher é dada por:
Primeiro, vamos encontrar
:
Agora, derivamos isso em relação a
:
Então, elevando ao quadrado:
Agora, calculamos o valor esperado dessa expressão:
Sabemos que para uma distribuição exponencial:
Substituindo esses valores:
Passo 4
Como temos uma amostra de tamanho
, a Informação de Fisher total é:
Agora, aplicando o Teorema de Cramér-Rao:
Resposta
O limite inferior da variância dos estimadores não-viciados de
é
.