Seja (X1, ldots, Xn) uma amostra de uma população: X sim f(x mid theta)=theta e^-theta x, x>0, theta>0.
Encontre o limite inferior da variância dos estimadores não-viciados de theta;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma amostra (X1, ldots, Xn) de uma população definida pela distribuição exponencial X sim f(x mid theta) = theta e^-theta x para x > 0 e theta > 0. O objetivo é encontrar o limite inferior da variância dos estimadores não-viciados de theta.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de estatística, especialmente o Teorema de Cramér-Rao, que nos dá esse limite inferior para a variância de estimadores não-viciados. Basicamente, esse teorema nos ajuda a saber o quão bom um estimador pode ser em termos de variância.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um estimador não-viciado. Um estimador theta é dito não-viciado para theta se o valor esperado de theta for igual a theta, ou seja, E[theta] = theta.
Agora, para encontrar o limite inferior da variância desses estimadores, usamos o Teorema de Cramér-Rao. Esse teorema nos diz que:
Var(theta) >= 1I(theta)
Onde I(theta) é a Informação de Fisher.

Passo 3

Vamos calcular a Informação de Fisher para a nossa distribuição. A Informação de Fisher é dada por:
I(theta) = E[ ( partialpartial theta ln f(X mid theta) )^2 ]
Primeiro, vamos encontrar ln f(X mid theta):
ln f(X mid theta) = ln(theta) - theta x
Agora, derivamos isso em relação a theta:
partialpartial theta ln f(X mid theta) = 1theta - x
Então, elevando ao quadrado:
( 1theta - x )^2 = 1theta^2 - 2xtheta + x^2
Agora, calculamos o valor esperado dessa expressão:
I(theta) = E[ 1theta^2 - 2xtheta + x^2 ] = 1theta^2 - 2thetaE[X] + E[X^2]
Sabemos que para uma distribuição exponencial:
E[X] = 1theta
E[X^2] = 2theta^2
Substituindo esses valores:
I(theta) = 1theta^2 - 2theta cdot 1theta + 2theta^2 = 1theta^2 - 2theta^2 + 2theta^2 = 1theta^2

Passo 4

Como temos uma amostra de tamanho n, a Informação de Fisher total é:
In(theta) = n cdot I(theta) = n cdot 1theta^2 = ntheta^2
Agora, aplicando o Teorema de Cramér-Rao:
Var(theta) >= 1In(theta) = theta^2n

Resposta

O limite inferior da variância dos estimadores não-viciados de theta é theta^2n.

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