Seja
de uma população
. encontre a distribuição da média amostral
, quando:
Se
tem distribuição
. Sendo
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a distribuição da média amostral
quando temos uma amostra
de uma população que segue uma distribuição normal
. Ou seja, estamos lidando com Probabilidade e Estatística, especificamente com distribuições de probabilidade e propriedades da média amostral. Vamos precisar entender como a média de várias variáveis normais se comporta.
Passo 2
Primeiro, lembre que cada
na amostra segue a distribuição normal
. Isso significa que cada variável tem uma média de
e uma variância de
.
Passo 3
A média amostral
é calculada assim:
Ou seja, você soma todos os valores da amostra e divide pelo número de observações
.
Passo 4
Como os
são independentes e todas têm a mesma distribuição normal, a média
também seguirá uma distribuição normal. Essa é uma propriedade chave das distribuições normais: a combinação linear de variáveis normais independentes também é normal.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a média da distribuição da
. A média da média amostral é igual à média das variáveis individuais:
Isso significa que a média da média amostral continua sendo
.
Passo 6
Em seguida, calculamos a variância da média amostral. A variância da média de variáveis independentes é igual à variância de cada variável dividida pelo tamanho da amostra:
Isso mostra que, conforme aumenta o tamanho da amostra
, a variância da média amostral diminui.
Resposta
Então, juntando tudo, a distribuição da média amostral
é uma distribuição normal com média
e variância
. Ou seja: