Seja (X1, ldots, Xn) de uma população X sim f(x mid theta). encontre a distribuição da média amostral (barX), quando:
Se X tem distribuição N(mu, sigma^2). Sendo theta=(mu, sigma^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a distribuição da média amostral barX quando temos uma amostra (X1, ldots, Xn) de uma população que segue uma distribuição normal N(mu, sigma^2). Ou seja, estamos lidando com Probabilidade e Estatística, especificamente com distribuições de probabilidade e propriedades da média amostral. Vamos precisar entender como a média de várias variáveis normais se comporta.

Passo 2

Primeiro, lembre que cada Xi na amostra segue a distribuição normal N(mu, sigma^2). Isso significa que cada variável tem uma média de mu e uma variância de sigma^2.

Passo 3

A média amostral barX é calculada assim:
barX = 1n sumi=1^n Xi
Ou seja, você soma todos os valores da amostra e divide pelo número de observações n.

Passo 4

Como os Xi são independentes e todas têm a mesma distribuição normal, a média barX também seguirá uma distribuição normal. Essa é uma propriedade chave das distribuições normais: a combinação linear de variáveis normais independentes também é normal.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a média da distribuição da barX. A média da média amostral é igual à média das variáveis individuais:
E[barX] = mu
Isso significa que a média da média amostral continua sendo mu.

Passo 6

Em seguida, calculamos a variância da média amostral. A variância da média de variáveis independentes é igual à variância de cada variável dividida pelo tamanho da amostra:
Var(barX) = sigma^2n
Isso mostra que, conforme aumenta o tamanho da amostra n, a variância da média amostral diminui.

Resposta

Então, juntando tudo, a distribuição da média amostral barX é uma distribuição normal com média mu e variância sigma^2n. Ou seja:
barX sim N(mu, sigma^2n)

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