2 - (Distribuição de objetos em cubículos.)

Considere a estrutura do espaço amostral decorrente de alocar k objetos (bolas, etc.) em n cubículos (caixas, etc.) enumerados de 1 a n. Esta classe de problemas aparece, por exemplo, na Física Estatística que o é estudada a distribuição de k partículas (prótons, elétrons, etc.) entre n estados (que podem ser níveis de energia). Na física estatística dizemos que:
■ as partículas distinguíveis e que não estão sujeitas ao princípio de exclusão de Pauli (no máximo uma partícula por sítio) obedecem as estatísticas de Maxwell-Boltzmann
■ as partículas indistinguíveis e que estão sujeitas ao princípio de exclusão de Pauli (no máximo uma partícula por sítio) obedecem as estatísticas de Bose-Einstein.
-as partículas indistinguíveis e que estão sujeitas ao princípio de exclusão, dizemos que
obedecem as estatísticas de Fermi-Dirac.
Descreva o espaço amostral para estes modelos de alocação de partículas.

Passo 1

Nesse exercício, a gente precisa descrever o espaço amostral ao alocar k partículas em n cubículos sob três regras diferentes (Maxwell–Boltzmann, Bose–Einstein e Fermi–Dirac). Vamos usar combinatória básica: funções para partículas distintas e composições ou vetores para partículas indistinguíveis.

Passo 2

Para Maxwell–Boltzmann (partículas distinguíveis e sem limite de ocupação), cada partícula recebe um rótulo de 1 a k e vai para um cubículo de 1 a n. O espaço amostral é o conjunto de todas as funções de 1,dots,k em 1,dots,n:
OmegaMB = ,f:1,dots,kto1,dots,n,
Em outras palavras, cada resultado é uma tupla (i1,dots,ik) com ijin1,dots,n e total de n^k possibilidades.

Passo 3

Para Bose–Einstein (partículas indistinguíveis e sem limite de ocupação), só importa quantas partículas vão em cada cubículo, não quem são. Definimos variáveis x1,dots,xn com xi>=0 e
x1 + x2 + cdots + xn = k
Assim
OmegaBE = (x1,dots,xn)inN^n: sumi=1^n xi = k,
e o número de resultados é n+k-1 choose k (princípio de “stars and bars”).

Passo 4

Para Fermi–Dirac (partículas indistinguíveis e com exclusão, ou seja, no máximo uma por cubículo), cada xi vale 0 ou 1 e
x1 + x2 + cdots + xn = k
Logo
OmegaFD = (x1,dots,xn)in0,1^n: sumi=1^n xi = k,
e o tamanho do espaço é n choose k.

Resposta

(\displaystyle \Omega_{MB}={f:{1,\dots,k}\to{1,\dots,n}},;|\Omega_{MB}|=n^k;\
\displaystyle \Omega_{BE}={(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{N}n:\sum_{i=1}n x_i=k},;|\Omega_{BE}|={n+k-1\choose k};\
\displaystyle \Omega_{FD}={(x_1,\dots,x_n)\in{0,1}n:\sum_{i=1}n x_i=k},;|\Omega_{FD}|={n\choose k}."}

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