Distribuição de Poisson. Experimentos que geram valores da variável aleatória
que representa o número de resultados que ocorrem num intervalo de tempo, ou superfície ou volume, são chamados de experimentos de Poisson. A v.a. X é denominada de variável de Poisson e tem função de probabilidade dada por
Neste caso, dizemos que a variável aleatória
segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
e denotamos da seguinte maneira:
. Além disso, pode-se mostrar que
. Logo,
representa o número médio de resultados que ocorrem no intervalo de tempo, ou superfície ou volume considerado. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
A experiência passada indica que um número médio de 6 clientes por hora param num posto de combustível para colocar gasolina.
a) Qual é a probabilidade de 3 clientes pararem em qualquer intervalo de 1 hora?
b) Qual é a probabilidade de 3 clientes ou mais pararem em qualquer intervalo de 1 hora?
c) Qual é o valor esperado, a variância e o desvio padrão para esta distribuição?
a) Qual é a probabilidade de 3 clientes pararem em qualquer intervalo de 1 hora?
b) Qual é a probabilidade de 3 clientes ou mais pararem em qualquer intervalo de 1 hora?
c) Qual é o valor esperado, a variância e o desvio padrão para esta distribuição?
Passo 1
Beleza, vamos resumir: temos uma variável aleatória
que conta quantos clientes param no posto de combustível em 1 hora. Essa variável segue uma Distribuição de Poisson com parâmetro
, onde
é a média de clientes por hora. Aqui a experiência diz que
. Vou te mostrar o que é preciso pra resolver:
- Entender a fórmula da Poisson:
- Calcular
. - Calcular
usando complementar. - Obter a média, variância e desvio padrão da Poisson (
, , ).
Passo 2
Vamos achar a probabilidade de exatamente 3 clientes (
).
Pela fórmula:
Pela fórmula:
- Calcula
. - Calcula
. - Então
- Se quiser valor numérico, lembrando que
:
Passo 3
Agora a probabilidade de 3 ou mais clientes, isto é
.
A gente costuma usar o complementar:
A gente costuma usar o complementar:
Calculemos cada um:
-
. -
. -
.
Somando:
Então
Passo 4
Pra fechar, a teoria diz que, se
, então:
- Esperança (média):
- Variância:
- Desvio padrão:
Aqui
, logo:
Resposta
a)
b)
c) ,
,
b)
c)