Distribuição de Poisson. Experimentos que geram valores da variável aleatória X que representa o número de resultados que ocorrem num intervalo de tempo, ou superfície ou volume, são chamados de experimentos de Poisson. A v.a. X é denominada de variável de Poisson e tem função de probabilidade dada por
P(X=k)=e^-lambda cdot lambda^kk!, k=0,1,2, ldots
Neste caso, dizemos que a variável aleatória X segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda e denotamos da seguinte maneira: X sim Poisson(lambda). Além disso, pode-se mostrar que E(X)=Var(X)=lambda. Logo, lambda representa o número médio de resultados que ocorrem no intervalo de tempo, ou superfície ou volume considerado. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
A experiência passada indica que um número médio de 6 clientes por hora param num posto de combustível para colocar gasolina.
a) Qual é a probabilidade de 3 clientes pararem em qualquer intervalo de 1 hora?
b) Qual é a probabilidade de 3 clientes ou mais pararem em qualquer intervalo de 1 hora?
c) Qual é o valor esperado, a variância e o desvio padrão para esta distribuição?

Passo 1

Beleza, vamos resumir: temos uma variável aleatória P(X=k)=e^-lambda,lambda^kk! que conta quantos clientes param no posto de combustível em 1 hora. Essa variável segue uma Distribuição de Poisson com parâmetro , onde é a média de clientes por hora. Aqui a experiência diz que . Vou te mostrar o que é preciso pra resolver:
  • Entender a fórmula da Poisson:
  • Calcular .
  • Calcular usando complementar.
  • Obter a média, variância e desvio padrão da Poisson ( , , ).

Passo 2

Vamos achar a probabilidade de exatamente 3 clientes ( P(X=3)=e^-6,6^33!).
Pela fórmula:
P(X=3)=e^-6,2166=36,e^-6
  1. Calcula P(X=3)approx36times0,00247875approx0,0892.
  2. Calcula .
  3. Então
  4. Se quiser valor numérico, lembrando que :

Passo 3

Agora a probabilidade de 3 ou mais clientes, isto é P(X>=3)=1 - P(X<3)=1 - l[P(0)+P(1)+P(2)r].
A gente costuma usar o complementar:
P(0)+P(1)+P(2)approx0,00248+0,01487+0,04462=0,06197
Calculemos cada um:
  • P(X>=3)=1 - 0,06197approx0,93803.
  • .
  • .
    Somando:
Então

Passo 4

Pra fechar, a teoria diz que, se E(X)=lambda, então:
  • Esperança (média): Var(X)=lambda
  • Variância: sigma=raizVar(X)=raizlambda
  • Desvio padrão: E(X)=6, Var(X)=6, sigma=raiz6approx2,449
Aqui , logo:

Resposta

a)
b)
c) , ,

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