A distribuição populacional dos tempos de duração de um tipo de pilha elétrica é normal com desvio padrão igual a 3 horas, mas com média \mu desconhecida. O fabricante afirma que a duração média das pilhas é de 5 horas. Para verificar essa afirmação, foi realizado um experimento, em que foram selecionadas aleatoriamente 9 pilhas elétricas do tipo em questão, registrando-se seus tempos de duração. A média amostral desses tempos foi igual a 6 horas. Considerando um nível de significância de 5 \%, podemos afirmar que a duração média das pilhas é diferente de 5 horas?

Passo 1

O enunciado diz que a variável “tempo de duração” de cada pilha é \mathcal{N}(\mu,3^2), com \mu desconhecida. Selecionamos n=9 pilhas e obtivemos média amostral \bar x=6 horas. Queremos testar, com nível de significância de 5\%, se a média real \mu difere de 5 horas. Este é um teste de hipóteses para a média de uma normal com desvio padrão populacional conhecido.

Passo 2

Formulamos as hipóteses:
H_0:\mu=5
H_1:\mu\neq5
É um teste bicaudal, pois H_1 quer diferença em qualquer direção.

Passo 3

Sob H_0, a distribuição da média amostral \bar X é normal com média 5 e desvio padrão \sigma_{\bar X} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3}{\sqrt{9}} = 1. O estatístico de teste é
Z = \frac{\bar X - 5}{\sigma_{\bar X}} = \frac{\bar X - 5}{1}.

Passo 4

Para nível de significância \alpha=0{,}05 em teste bicaudal, as regiões críticas são
|Z| > z_{1-\alpha/2} = z_{0{,}975} \approx 1{,}96.

Passo 5

Calculamos o valor observado de Z com \bar x=6:
Z_{\rm obs} = \frac{6-5}{1} = 1.
Verificamos que |Z_{\rm obs}| = 1 <1{,}96, ou seja, Z_{\rm obs} cai dentro da região de não rejeição de H_0.

Passo 6

Como não rejeitamos H_0, concluímos que não há evidência estatística, ao nível de 5\%, para afirmar que a duração média das pilhas seja diferente de 5 horas.

Resposta

Não. Não podemos afirmar que a duração média das pilhas difere de 5 horas, pois falhamos em rejeitar H_0 ao nível de significância de 5\%.

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