Uma empresa de semicondutores desenvolveu um novo circuito integrado que, segundo a empresa, consome menos energia do que o modelo anterior. O modelo anterior tinha um consumo médio de 2 watts. Para testar a afirmação da empresa, um eletricista coletou uma amostra de 40 novos circuitos integrados e mede o consumo de energia de cada um. A média do consumo de energia da amostra foi de 1,95 watts. Suponha que a amostra é proveniente de uma população normal com desvio padrão populacional igual a 0,2 watts. Considerando um nível de significância de 1%, faça o que se pede em cada item abaixo:
(a) Formule as hipóteses nula e alternativa para este teste.
(b) Fixado o nível de significância, construa a região crítica do teste.
(c) Calcule o valor da estatística de teste.
(d) Calcule o p-valor do teste.
(e) Tome uma decisão sobre as hipóteses e interprete o resultado no contexto do problema.

Passo 1

O enunciado descreve um teste de hipótese sobre a média de uma população normal com desvio padrão populacional conhecido. Temos o consumo médio do modelo antigo igual a 2 W e queremos verificar, ao nível de significância de 1\%, se o novo modelo consome menos energia. A amostra tem tamanho n=40, média amostral \bar x=1,95 W e desvio padrão populacional \sigma=0,2 W. Vamos usar o teste Z unilateral à esquerda para \mu.

Passo 2

Formulamos as hipóteses nula e alternativa como
H_0:\mu = 2
H_1:\mu < 2

Passo 3

Com nível de significância \alpha=0,01, o ponto crítico para o teste unilateral à esquerda é
z_{\alpha} = \Phi^{-1}(0,01) \approx -2,33.
Logo, a região crítica é
\{Z < -2,33\}.

Passo 4

A estatística de teste Z é dada por
Z = \frac{\bar x - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{1,95 - 2}{0,2/\sqrt{40}} = \frac{-0,05}{0,03162} \approx -1,58.

Passo 5

O p-valor é
p = P(Z < -1,58) \approx 0,057.

Passo 6

Como Z = -1,58 não cai na região crítica (Z < -2,33) e p=0,057 > 0,01, não rejeitamos H_0.
Interpretação: não há evidência estatística, ao nível de 1\%, para concluir que o novo circuito consome menos energia que 2 W em média.

Resposta

(a) H_0:\mu = 2 e H_1:\mu < 2.
(b) Região crítica: Z < -2,33.
(c) Estatística de teste: Z \approx -1,58.
(d) p-valor: aproximadamente 0,057.
(e) Como p>0,01, não rejeitamos H_0; não há evidência, a 1\%, de que o consumo médio seja menor que 2 W.

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