Uma indústria de autopeças afirma que a média do nível de dureza de seu produto feito a base de cerâmica é superior a 18,4. Para verificar essa afirmação, foi selecionada uma amostra de 16 peças, cujos resultados do nível de dureza foram:
\begin{array}{cccccccccccccccc} 18,1 & 19 & 18,8 & 18,5 & 18,1 & 18,8 & 18,1 & 18 & 18,5 & 19,8 & 17,8 & 19,1 & 18 & 19,2 & 19,8 & 19,2 \end{array}
O que pode ser dito sobre a afirmação da indústria acerca do nível de dureza de seu produto? Considere um nível de significância de 10 \%.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de n=16 peças com níveis de dureza e pede para testar, ao nível de significância de 10\%, se a média verdadeira \mu é superior a 18,4. Como a variância populacional é desconhecida, faremos um teste t de Student para uma amostra.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar{x} e o desvio-padrão amostral s. Somando todos os valores,
\sum_{i=1}^{16} x_i = 298{,}8
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\bar{x} = \frac{298{,}8}{16} = 18{,}675.
Em seguida, computamos
s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}\approx 0{,}639.

Passo 3

As hipóteses são
H_0: \mu \le 18{,}4 \quad\text{vs.}\quad H_1: \mu > 18{,}4.
O estatístico de teste é
t = \frac{\bar{x}-18{,}4}{s/\sqrt{n}} = \frac{18{,}675 - 18{,}4}{0{,}639/\sqrt{16}} \approx 1{,}72.

Passo 4

Para \alpha=0,10 e df=n-1=15, o valor crítico unilátero é
t_{0{,}90,\,15}\approx 1{,}341.
Como t=1{,}72 > 1{,}341, concluímos que t cai na região de rejeição de H_0.

Passo 5

Rejeitamos H_0 ao nível de 10\% e aceitamos que a média de dureza é superior a 18,4, corroborando a afirmação da indústria.

Resposta

Rejeita-se H_0; há evidência, a 10\% de significância, de que a média de dureza excede 18,4.

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