Na recente Campus Party, um fabricante de games decidiu desenvolver e comercializar um programa sobre mercado de ações, se a idade média de todos os jogadores for superior a 22 anos. Uma amostra aleatória de 100 jogadores foi obtida e os dados resultantes, usados para testar a hipótese relevante. A média amostral encontrada foi de 23 anos e o desvio padrão populacional é conhecido e igual a 3 anos. Considerando que o Teorema Central do Limite possa ser aplicado, faça o que se pede em cada item abaixo:
(a) Formule as hipóteses nula e alternativa para este teste.
(b) Construa a região crítica do teste, considerando um nível de significância de 1 \%.
(c) Calcule o valor da estatística de teste.
(d) Calcule o p-valor do teste.
(e) Tome uma decisão sobre as hipóteses e interprete o resultado no contexto do problema

Passo 1

O enunciado pede um teste de hipótese unilateral à direita para a média da idade \mu de jogadores, com desvio padrão populacional conhecido \sigma=3, amostra de tamanho n=100 e média amostral \bar x=23. Como n é grande, podemos aplicar o Teorema Central do Limite e usar o teste z.

Passo 2

Formulamos as hipóteses levando em conta que o fabricante quer saber se a idade média é superior a 22 anos:
H_0:\mu \le 22
H_1:\mu > 22

Passo 3

Para um nível de significância \alpha=0,01 e teste unilateral à direita, a região crítica em termos de z é
\{\,z > z_{1-\alpha}\}
onde z_{1-\alpha}=z_{0,99}\approx2,33. Logo a rejeição ocorre se
z>2,33.

Passo 4

A estatística de teste é
z=\frac{\bar x-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} =\frac{23-22}{3/\sqrt{100}} =\frac{1}{0,3}\approx3,33.

Passo 5

O p-valor para um teste unilateral à direita é
p = 1-\Phi(3,33)\approx1-0,99957\approx0,00043.

Passo 6

Como z=3,33>2,33 e p\approx0,00043<0,01, rejeitamos H_0. Em outras palavras, há evidência estatística de que a idade média dos jogadores é superior a 22 anos, o que justifica o desenvolvimento do programa.

Resposta

(a) H_0:\mu \le 22 e H_1:\mu > 22.
(b) Região crítica \{z>2,33\}.
(c) z\approx3,33.
(d) p\approx0,00043.
(e) Rejeita-se H_0; conclui-se que a idade média é significativamente maior que 22 anos.

Exercícios relacionados