A distribuição de probabilidade conjunta de X=n^circ. anos para completar ensino fundamental e Y=n^o anos para completar o ensino médio segue na tabela abaixo:
(X ; Y) P(X ; Y)
(8 ; 3) 6 / 20
(8 ; 4) 2 / 20
(8 ; 5) 2 / 20
(9 ; 3) 4 / 20
(9 ; 4) 1 / 20
(9 ; 5) 2 / 20
(10 ; 4) 2 / 20
(10 ; 5) 1 / 20
Sejam Z=X+Y e W=X * Y. Obtenha:
(12.1) fmp de X, E(X) e Var(X)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma tabela que mostra a distribuição de probabilidade conjunta de duas variáveis: X, que representa o número de anos para completar o ensino fundamental, e Y, que representa o número de anos para completar o ensino médio. O objetivo aqui é encontrar a função de massa de probabilidade de X, que é basicamente a distribuição de X isoladamente. Além disso, vamos calcular a expectativa ( E(X)) e a variância ( Var(X)) de X. Para isso, vamos precisar somar as probabilidades da tabela para cada valor de X e aplicar as fórmulas de expectativa e variância.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função de massa de probabilidade (fmp) de X. A fmp de X é obtida somando todas as probabilidades correspondentes a cada valor de X, independentemente de Y. Isso significa que para cada valor de X, somamos as probabilidades de todos os possíveis valores de Y que estão na tabela.

Passo 3

Vamos identificar os valores diferentes de X na tabela. Observamos que X pode ser 8, 9 ou 10 anos. Agora, vamos somar as probabilidades correspondentes a cada um desses valores:
  • Para X = 8:
    • (8; 3): 6/20
    • (8; 4): 2/20
    • (8; 5): 2/20
    Somando: 6/20 + 2/20 + 2/20 = 10/20 = 1/2
  • Para X = 9:
    • (9; 3): 4/20
    • (9; 4): 1/20
    • (9; 5): 2/20
    Somando: 4/20 + 1/20 + 2/20 = 7/20
  • Para X = 10:
    • (10; 4): 2/20
    • (10; 5): 1/20
    Somando: 2/20 + 1/20 = 3/20

Passo 4

Agora que temos a fmp de X, podemos escrevê-la de forma organizada:
fX(x) = 12 & se x = 8 720 & se x = 9 320 & se x = 10 0 & caso contrário á

Passo 5

Vamos calcular a expectativa de X, que é a média ponderada dos valores de X com suas respectivas probabilidades. A fórmula da expectativa é:
E(X) = sumx x cdot fX(x)
Aplicando os valores:
E(X) = 8 cdot 12 + 9 cdot 720 + 10 cdot 320
Calculando cada termo:
8 cdot 12 = 4 9 cdot 720 = 6320 10 cdot 320 = 3020
Somando tudo:
4 + 6320 + 3020 = 4 + 9320 = 4 + 4,65 = 8,65
Então, E(X) = 8,65 anos.

Passo 6

Agora, vamos calcular a variância de X, que mede o quanto os valores de X estão dispersos em relação à sua expectativa. A fórmula da variância é:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
Primeiro, vamos calcular E(X^2):
E(X^2) = sumx x^2 cdot fX(x)
Aplicando os valores:
E(X^2) = 8^2 cdot 12 + 9^2 cdot 720 + 10^2 cdot 320
Calculando cada termo:
8^2 cdot 12 = 64 cdot 12 = 32 9^2 cdot 720 = 81 cdot 720 = 56720 = 28,35 10^2 cdot 320 = 100 cdot 320 = 15
Somando tudo:
32 + 28,35 + 15 = 75,35
Agora, aplicamos na fórmula da variância:
Var(X) = 75,35 - (8,65)^2 = 75,35 - 74,8225 = 0,5275

Resposta

A função de massa de probabilidade de X é:
fX(x) = 12 & se x = 8 720 & se x = 9 320 & se x = 10 0 & caso contrário á
A expectativa de X é E(X) = 8,65 anos e a variância de X é Var(X) = 0,5275 anos².

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