Lâmpadas do tipo LED economizam 80 %, quando comparadas com as lâmpadas incandescentes. A duração média das lâmpadas LED é de 50 mil horas.
(8.3) Suponha que o preço de venda da lâmpada é 21,90 , e o custo de produção 15,21 . Se a lâmpada durar menos que x unidades de tempo, a fábrica devolve o valor da compra e ainda oferece um bônus de 5,00 . Qual deve ser o valor de x para que o lucro médio seja de 3,00?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos lâmpadas LED que são mais econômicas e duram, em média, 50 mil horas. O preço de venda de cada lâmpada é R$21,90 e o custo de produção é R$15,21. Se a lâmpada durar menos que um certo tempo, chamado de 21,90 e o custo de produção é R, a fábrica devolve o valor da compra mais um bônus de R$5,00. Nosso objetivo aqui é descobrir qual deve ser esse valor de 5,00 Nosso objetivo aqui é descobrir qual deve ser esse valor de ( x ) para que, em média, a fábrica tenha um lucro de R para que, em média, a fábrica tenha um lucro de R$3,00 por lâmpada vendida.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o lucro bruto por lâmpada sem considerar as devoluções. O lucro bruto é a diferença entre o preço de venda e o custo de produção:
Lucro Bruto = Preço de Venda - Custo de Produção = 21,90 - 15,21 = 6,69 Reais ççã

Passo 3

Agora, precisamos considerar o custo adicional que a fábrica terá quando uma lâmpada não durar o tempo 21,90 e ainda dá um bônus de R. Se isso acontecer, a fábrica devolve R$21,90 e ainda dá um bônus de R$5,00. Então, o custo total por devolução será:
Custo por Devolução = 21,90 + 5,00 = 26,90 Reais çã

Passo 4

A próxima etapa é calcular a probabilidade de uma lâmpada durar menos que P(durar < x) = 1 - e^-x/mu horas. Vamos chamar essa probabilidade de .
A média de duração das lâmpadas é de 50 mil horas, e vamos assumir que o tempo de vida segue uma distribuição exponencial, que é comum para modelar o tempo até uma falha em dispositivos eletrônicos. A função de sobrevivência para uma distribuição exponencial é:
onde é a média de duração, ou seja, 50.000 horas.

Passo 5

Queremos que o lucro médio por lâmpada seja de R$3,00. Então, podemos montar a seguinte equação considerando o lucro bruto menos o custo esperado das devoluções:
Lucro Médio = Lucro Bruto - (Custo por Devolução times P(durar < x)) = 3,00 éçã
Substituindo os valores que já conhecemos:
6,69 - 26,90 times P(durar < x) = 3,00

Passo 6

Vamos resolver a equação para encontrar 26,90 times P(durar < x) = 6,69 - 3,00 26,90 times P(durar < x) = 3,69 P(durar < x) = 3,6926,90 P(durar < x) approx 0,137 ou 13,7% :

Passo 7

Agora, usamos a função de sobrevivência para encontrar 1 - e^-x/50000 = 0,137 e^-x/50000 = 1 - 0,137 e^-x/50000 = 0,863 -x50000 = ln(0,863) x = -50000 times ln(0,863) :
ln(0,863) approx -0,148 x = -50000 times (-0,148) x approx 7400 horas
Calculando o valor de :

Resposta

O valor de deve ser aproximadamente 7.400 horas para que o lucro médio seja de R$3,00 por lâmpada vendida.

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