Lâmpadas do tipo LED economizam
, quando comparadas com as lâmpadas incandescentes. A duração média das lâmpadas LED é de 50 mil horas.
(8.3) Suponha que o preço de venda da lâmpada é 21,90 , e o custo de produção 15,21 . Se a lâmpada durar menos que
unidades de tempo, a fábrica devolve o valor da compra e ainda oferece um bônus de 5,00 . Qual deve ser o valor de
para que o lucro médio seja de 3,00?
(8.3) Suponha que o preço de venda da lâmpada é 21,90 , e o custo de produção 15,21 . Se a lâmpada durar menos que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos lâmpadas LED que são mais econômicas e duram, em média, 50 mil horas. O preço de venda de cada lâmpada é R$21,90 e o custo de produção é R$15,21. Se a lâmpada durar menos que um certo tempo, chamado de
, a fábrica devolve o valor da compra mais um bônus de R$5,00. Nosso objetivo aqui é descobrir qual deve ser esse valor de
para que, em média, a fábrica tenha um lucro de R$3,00 por lâmpada vendida.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o lucro bruto por lâmpada sem considerar as devoluções. O lucro bruto é a diferença entre o preço de venda e o custo de produção:
Passo 3
Agora, precisamos considerar o custo adicional que a fábrica terá quando uma lâmpada não durar o tempo
. Se isso acontecer, a fábrica devolve R$21,90 e ainda dá um bônus de R$5,00. Então, o custo total por devolução será:
Passo 4
A próxima etapa é calcular a probabilidade de uma lâmpada durar menos que
horas. Vamos chamar essa probabilidade de
.
A média de duração das lâmpadas é de 50 mil horas, e vamos assumir que o tempo de vida segue uma distribuição exponencial, que é comum para modelar o tempo até uma falha em dispositivos eletrônicos. A função de sobrevivência para uma distribuição exponencial é:
onde
é a média de duração, ou seja, 50.000 horas.
Passo 5
Queremos que o lucro médio por lâmpada seja de R$3,00. Então, podemos montar a seguinte equação considerando o lucro bruto menos o custo esperado das devoluções:
Substituindo os valores que já conhecemos:
Passo 6
Vamos resolver a equação para encontrar
:
Passo 7
Agora, usamos a função de sobrevivência para encontrar
:
Calculando o valor de
:
Resposta
O valor de
deve ser aproximadamente 7.400 horas para que o lucro médio seja de R$3,00 por lâmpada vendida.