Lâmpadas do tipo LED economizam 80 %, quando comparadas com as lâmpadas incandescentes. A duração média das lâmpadas LED é de 50 mil horas.
(8.2) Qual a probabilidade de que uma lâmpada LED dure menos que 13 da média?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está perguntando. Temos lâmpadas LED que duram, em média, 50,000 horas. Queremos descobrir a probabilidade de uma lâmpada LED durar menos que um terço dessa média, ou seja, menos que aproximadamente 16,666 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição de probabilidades.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar qual distribuição de probabilidade é adequada para modelar a duração das lâmpadas LED. Um modelo comum para tempos até um evento (como o fim da vida útil de uma lâmpada) é a distribuição exponencial. Essa distribuição é apropriada quando estamos lidando com eventos que têm uma taxa constante de ocorrência.

Passo 3

A distribuição exponencial é definida pela função de densidade de probabilidade:
f(t) = 1mu e^-t/mu
onde mu é a média da distribuição. No nosso caso, mu = 50,000 horas.

Passo 4

Para encontrar a probabilidade de uma lâmpada durar menos que 16,666 horas, usamos a função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição exponencial:
P(T < t) = 1 - e^-t/mu
Substituindo os valores:
P(T < 16,666) = 1 - e^-16,666 / 50,000

Passo 5

Calculando o expoente:
16,66650,000 approx 0,3333
Então:
P(T < 16,666) = 1 - e^-0,3333

Passo 6

Calculando e^-0,3333:
e^-0,3333 approx 0,7165
Portanto:
P(T < 16,666) = 1 - 0,7165 = 0,2835

Resposta

A probabilidade de uma lâmpada LED durar menos que 13 da média é de aproximadamente 28,35%.

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