Um ponto é escolhido ao acaso dentro de uma circunferência de raio R. Qual a probabilidade deste ponto estar dentro do:
(5.2) quadrado regular inscrito nesta circunferência

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a probabilidade de um ponto escolhido aleatoriamente dentro de uma circunferência de raio estar também dentro de um quadrado regular inscrito nessa circunferência. Vamos usar conceitos de geometria sobre áreas e probabilidades para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa um quadrado estar inscrito em uma circunferência. Isso quer dizer que todos os quatro vértices do quadrado tocam a circunferência. Nesse caso, a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro da circunferência.

Passo 3

Sabemos que o diâmetro da circunferência é d = a raiz2 (duas vezes o raio). Para um quadrado com lado a raiz2 = 2R , a diagonal a = 2Rraiz2 = R raiz2 é dada pela fórmula:
Como a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro da circunferência:
Então, resolvendo para :

Passo 4

Agora que temos o lado do quadrado, podemos calcular a área dele. A área Aquadrado = a^2 = (R raiz2)^2 = 2R^2 é:

Passo 5

Em seguida, calculamos a área da circunferência. A área Acircunferência = pi R^2 ê é:
ê

Passo 6

A probabilidade de o ponto estar dentro do quadrado é a razão entre a área do quadrado e a área da circunferência:
P = AquadradoAcircunferência = 2R^2pi R^2 = 2pi ê

Resposta

A probabilidade de o ponto escolhido estar dentro do quadrado inscrito é ou aproximadamente 0,6366 (63,66%).

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