Um ponto é escolhido ao acaso dentro de uma circunferência de raio R. Qual a probabilidade deste ponto estar dentro do:
(5.2) quadrado regular inscrito nesta circunferência
(5.2) quadrado regular inscrito nesta circunferência
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a probabilidade de um ponto escolhido aleatoriamente dentro de uma circunferência de raio
estar também dentro de um quadrado regular inscrito nessa circunferência. Vamos usar conceitos de geometria sobre áreas e probabilidades para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa um quadrado estar inscrito em uma circunferência. Isso quer dizer que todos os quatro vértices do quadrado tocam a circunferência. Nesse caso, a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro da circunferência.
Passo 3
Sabemos que o diâmetro da circunferência é
(duas vezes o raio). Para um quadrado com lado
, a diagonal
é dada pela fórmula:
Como a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro da circunferência:
Então, resolvendo para
:
Passo 4
Agora que temos o lado do quadrado, podemos calcular a área dele. A área
é:
Passo 5
Em seguida, calculamos a área da circunferência. A área
é:
Passo 6
A probabilidade de o ponto estar dentro do quadrado é a razão entre a área do quadrado e a área da circunferência:
Resposta
A probabilidade de o ponto escolhido estar dentro do quadrado inscrito é
ou aproximadamente 0,6366 (63,66%).