A distribuição de probabilidade conjunta de X=n^circ. anos para completar ensino fundamental e Y=n^o anos para completar o ensino médio segue na tabela abaixo:
(X ; Y) P(X ; Y)
(8 ; 3) 6 / 20
(8 ; 4) 2 / 20
(8 ; 5) 2 / 20
(9 ; 3) 4 / 20
(9 ; 4) 1 / 20
(9 ; 5) 2 / 20
(10 ; 4) 2 / 20
(10 ; 5) 1 / 20
Sejam Z=X+Y e W=X * Y. Obtenha:
(12.3) fmp de Z, E(Z) e Var(Z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma tabela com a distribuição de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias: X, que representa o número de anos para completar o ensino fundamental, e Y, que representa o número de anos para completar o ensino médio. Nosso objetivo é encontrar a função de massa de probabilidade de Z = X + Y, além de calcular a esperança matemática E(Z) e a variância Var(Z). Para isso, vamos precisar entender como combinar as probabilidades das diferentes combinações de X e Y para obter a distribuição de Z.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as possíveis somas de X e Y que formam Z. Olhando a tabela, vemos os pares (X; Y) e suas respectivas probabilidades. Vamos calcular Z = X + Y para cada par e anotar as probabilidades correspondentes.

Passo 3

Vamos calcular Z = X + Y para cada par e agrupar as probabilidades que resultam no mesmo valor de Z:
  • Para (8; 3): Z = 8 + 3 = 11 com P = 620
  • Para (8; 4): Z = 8 + 4 = 12 com P = 220
  • Para (8; 5): Z = 8 + 5 = 13 com P = 220
  • Para (9; 3): Z = 9 + 3 = 12 com P = 420
  • Para (9; 4): Z = 9 + 4 = 13 com P = 120
  • Para (9; 5): Z = 9 + 5 = 14 com P = 220
  • Para (10; 4): Z = 10 + 4 = 14 com P = 220
  • Para (10; 5): Z = 10 + 5 = 15 com P = 120

Passo 4

Agora, vamos agrupar as probabilidades para cada valor de Z:
  • Z = 11: 620
  • Z = 12: 220 + 420 = 620
  • Z = 13: 220 + 120 = 320
  • Z = 14: 220 + 220 = 420
  • Z = 15: 120

Passo 5

Agora que temos a função de massa de probabilidade de Z, podemos escrevê-la de forma organizada:
fZ(z) = 620 & se z = 11 620 & se z = 12 320 & se z = 13 420 & se z = 14 120 & se z = 15 0 & caso contrário á

Passo 6

Agora, vamos calcular a esperança matemática E(Z). A esperança é calculada multiplicando cada valor possível de Z pela sua probabilidade e somando todos esses produtos:
E(Z) = sum z cdot P(Z = z)
Substituindo os valores:
E(Z) = 11 cdot 620 + 12 cdot 620 + 13 cdot 320 + 14 cdot 420 + 15 cdot 120
Calculando cada termo:
E(Z) = 6620 + 7220 + 3920 + 5620 + 1520 = 24820 = 12,4

Passo 7

Para encontrar a variância Var(Z), precisamos primeiro calcular E(Z^2). Isso é feito multiplicando cada valor de Z^2 pela sua probabilidade e somando:
E(Z^2) = sum z^2 cdot P(Z = z)
Calculando:
E(Z^2) = 11^2 cdot 620 + 12^2 cdot 620 + 13^2 cdot 320 + 14^2 cdot 420 + 15^2 cdot 120
E(Z^2) = 121 cdot 620 + 144 cdot 620 + 169 cdot 320 + 196 cdot 420 + 225 cdot 120
E(Z^2) = 72620 + 86420 + 50720 + 78420 + 22520 = 311620 = 155,8
Agora, usamos a fórmula da variância:
Var(Z) = E(Z^2) - [E(Z)]^2 = 155,8 - (12,4)^2
Var(Z) = 155,8 - 153,76 = 2,04

Resposta

A função de massa de probabilidade de Z é:
fZ(z) = 620 & se z = 11 620 & se z = 12 320 & se z = 13 420 & se z = 14 120 & se z = 15 0 & caso contrário á
A esperança matemática E(Z) é 12,4 e a variância Var(Z) é 2,04.

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