Um ponto é escolhido ao acaso dentro de uma circunferência de raio R. Qual a probabilidade deste ponto estar dentro do:
(5.3) pentágono regular inscrito nesta circunferência

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre probabilidade e geometria. Temos uma circunferência de raio e precisamos descobrir a chance de um ponto escolhido aleatoriamente dentro dela estar dentro de um pentágono regular inscrito nessa circunferência. Para resolver isso, vamos precisar calcular as áreas tanto do pentágono quanto da circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da circunferência. A fórmula para a área de um círculo é:
Acírculo = pi R^2 í
Onde é o raio da circunferência.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área do pentágono regular inscrito na circunferência. Um pentágono regular tem 5 lados iguais e 5 ângulos iguais. A área de um polígono regular inscrito em uma circunferência pode ser calculada usando a fórmula:
Apentágono = 52 R^2 sin(2pi5) á
Aqui, usamos que cada ângulo central do pentágono é radianos (ou 72 graus).

Passo 4

A probabilidade de um ponto estar dentro do pentágono é a razão entre a área do pentágono e a área da circunferência. Então:
P = ApentágonoAcírculo = 52 R^2 sin(2pi5)pi R^2 áí
Os P = 5 sin(2pi5)2pi cancelam, ficando:

Passo 5

Vamos calcular o valor numérico. Primeiro, calculamos sin(2pi5) approx 0,9511 :
P approx 5 times 0,95112 times 3,1416 approx 4,75556,2832 approx 0,7568
Então, substituindo:

Resposta

A probabilidade de um ponto escolhido aleatoriamente dentro da circunferência estar dentro do pentágono regular é aproximadamente .

Exercícios relacionados