A distribuição de probabilidade conjunta de X=n^circ. anos para completar ensino fundamental e Y=n^o anos para completar o ensino médio segue na tabela abaixo:
(X ; Y) P(X ; Y)
(8 ; 3) 6 / 20
(8 ; 4) 2 / 20
(8 ; 5) 2 / 20
(9 ; 3) 4 / 20
(9 ; 4) 1 / 20
(9 ; 5) 2 / 20
(10 ; 4) 2 / 20
(10 ; 5) 1 / 20
Sejam Z=X+Y e W=X * Y. Obtenha:
(12.2) fmp de Y, E(Y) e Var(Y)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias: X, que representa o número de anos para completar o ensino fundamental, e Y, que representa o número de anos para completar o ensino médio. A tabela nos dá a distribuição de probabilidade conjunta dessas duas variáveis. Nosso objetivo é encontrar a Função Massa de Probabilidade (FMP) de Y, a Esperança Matemática de Y, e a Variância de Y. Para isso, vamos precisar entender como extrair a FMP marginal de Y a partir da distribuição conjunta e depois calcular a esperança e a variância dessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a Função Massa de Probabilidade (FMP) de Y. A FMP marginal de Y é obtida somando as probabilidades de todas as possíveis valores de X para cada valor fixo de Y. Em outras palavras:
fY(y) = sumx P(X = x, Y = y)

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula usando a tabela fornecida. Vamos calcular fY(y) para cada possível valor de Y.
  • Para Y = 3:
    fY(3) = P(8;3) + P(9;3) = 620 + 420 = 1020 = 12
  • Para Y = 4:
    fY(4) = P(8;4) + P(9;4) + P(10;4) = 220 + 120 + 220 = 520 = 14
  • Para Y = 5:
    fY(5) = P(8;5) + P(9;5) + P(10;5) = 220 + 220 + 120 = 520 = 14

Passo 4

Agora que temos a FMP de Y, podemos escrever:
fY(y) = 12 & se y = 3 14 & se y = 4 14 & se y = 5 0 & caso contrário á

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a Esperança Matemática de Y, que é a média ponderada dos valores que Y pode assumir, usando suas probabilidades.
A fórmula da esperança é:
E(Y) = sumy y cdot fY(y)

Passo 6

Aplicando os valores:
E(Y) = 3 cdot 12 + 4 cdot 14 + 5 cdot 14 = 32 + 1 + 54 = 64 + 44 + 54 = 154 = 3,75

Passo 7

Agora, vamos calcular a Variância de Y. A variância mede o quão dispersos estão os valores de Y em relação à sua média. A fórmula é:
Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2
Primeiro, precisamos calcular E(Y^2).

Passo 8

Calculando E(Y^2):
E(Y^2) = sumy y^2 cdot fY(y)
Aplicando os valores:
E(Y^2) = 3^2 cdot 12 + 4^2 cdot 14 + 5^2 cdot 14 = 9 cdot 12 + 16 cdot 14 + 25 cdot 14 = 92 + 4 + 254
Convertendo para frações com denominador 4:
E(Y^2) = 184 + 164 + 254 = 594 = 14,75

Passo 9

Agora, usando a fórmula da variância:
Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = 14,75 - (3,75)^2 = 14,75 - 14,0625 = 0,6875

Resposta

A função massa de probabilidade de Y é:
fY(y) = 12 & se y = 3 14 & se y = 4 14 & se y = 5 0 & caso contrário á
A esperança matemática de Y é E(Y) = 3,75, e a variância de Y é Var(Y) = 0,6875.

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